【題目】如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A( , )和B(4,m),點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D,交拋物線于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;
(2)是否存在這樣的P點(diǎn),使線段PC的長(zhǎng)有最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求△PAC為直角三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵B(4,m)在直線y=x+2上,

∴m=4+2=6,

∴B(4,6),

∵A( , )、B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上,

,解得 ,

∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6


(2)

解:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n,n+2),則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(n,2n2﹣8n+6),

∴PC=(n+2)﹣(2n2﹣8n+6),

=﹣2n2+9n﹣4,

=﹣2(n﹣ 2+

∵PC>0,

∴當(dāng)n= 時(shí),線段PC最大且為


(3)

解:∵△PAC為直角三角形,

i)若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),則∠APC=90°.

由題意易知,PC∥y軸,∠APC=45°,因此這種情形不存在;

ii)若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn),則∠PAC=90°.

如答圖3﹣1,過(guò)點(diǎn)A( , )作AN⊥x軸于點(diǎn)N,則ON= ,AN=

過(guò)點(diǎn)A作AM⊥直線AB,交x軸于點(diǎn)M,則由題意易知,△AMN為等腰直角三角形,

∴MN=AN= ,∴OM=ON+MN= + =3,

∴M(3,0).

設(shè)直線AM的解析式為:y=kx+b,

則: ,解得 ,

∴直線AM的解析式為:y=﹣x+3 ①

又拋物線的解析式為:y=2x2﹣8x+6 ②

聯(lián)立①②式,解得:x=3或x= (與點(diǎn)A重合,舍去)

∴C(3,0),即點(diǎn)C、M點(diǎn)重合.

當(dāng)x=3時(shí),y=x+2=5,

∴P1(3,5);

iii)若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),則∠ACP=90°.

∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.

如答圖3﹣2,作點(diǎn)A( , )關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)C,

則點(diǎn)C在拋物線上,且C( , ).

當(dāng)x= 時(shí),y=x+2=

∴P2 , ).

∵點(diǎn)P1(3,5)、P2 , )均在線段AB上,

∴綜上所述,△PAC為直角三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,5)或(


【解析】(1)已知B(4,m)在直線y=x+2上,可求得m的值,拋物線圖象上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),可將其代入拋物線的解析式中,通過(guò)聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值.(2)要弄清PC的長(zhǎng),實(shí)際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差.可設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo),根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo),進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值.(3)當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí),根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同,有三種情形,需要分類討論,分別求解.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)當(dāng) t 為何值時(shí),∠BAF<BAC;

(2)當(dāng) t 為何值時(shí),AE=CF;

(3)當(dāng) t 為何值時(shí),SABF+SACE<SABC

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本次抽查了______名七年級(jí)學(xué)生;

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

求扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“C等”部分的扇形的中心角度數(shù);

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B.2個(gè)
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(1)乙車的速度是________千米/小時(shí),B、C兩地的距離是________千米, A、C兩地的距離是________千米;

(2)求甲車的速度;

(3)這一天,乙車出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間,兩車相距200千米?

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