Question

【題目】如圖，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂，測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°，30°．于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC=0.1km．

（1）試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等；

（2）求B點距水平面的高度（計算結(jié)果精確到0.01km，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，tan75°≈3.73）

Answer 1

【答案】（1）BD=BA （2）0.32km

【解析】

（1）由已知條件易得∠AOC=90°，由此可得BC⊥AD，由∠DCF=∠DAC+∠ADC=60°結(jié)合∠DAC=30°可得∠ADC=30°，由此可得AC=DC，從而說明BC是AD的垂直平分線，由此即可得到BD=BA；

（2）過點B作BE⊥AC于點E，設(shè)AE=x，則由已知條件易得：BE=AE·tan∠BAE=tan75°·x，BE=CE·tan∠BCE=（0.1+x）tan30°，由此即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可求得AE的長，進(jìn)而可得BE的長.

（1）如圖，

在△ACD中，∵∠DAC=30°，∠ACB=∠DCF=60°，

∴∠AOC=180°﹣∠DAC﹣∠ACB=90°，∠ADC=∠DCF﹣∠DAC=30°，

∴AC=DC、BC⊥AD，

∴BC是AD的中垂線，

∴BD=BA；

（2）如下圖，作BE⊥AC，交CA延長線于點E，

設(shè)AE=x，

則BE=AEtan∠BAE=tan75°x，

∵AC=0.1，

∴CE=AC+AE=0.1+x，

在Rt△BCE中，∵tan∠BCE=，

∴tan60°=，即，

解得：x=0.0865，

則BE=tan75°x=3.73×0.0865≈0.32，

答：B點距水平面的高度約為0.32km．