Question

【題目】有一張等腰三角形紙片，AB=AC=5，BC=3，小明將它沿虛線PQ剪開，得到△AQP和四邊形BCPQ兩張紙片（如圖所示），且滿足∠BQP=∠B，則下列五個(gè)數(shù)據(jù) ，3， ，2， 中可以作為線段AQ長(zhǎng)的有個(gè)．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：作CD∥PQ，交AB于D，如圖所示： 則∠CDB=∠BQP，
∵AB=AC=5，
∴∠B=∠ACB，
∵∠BQP=∠B，
∴∠B=∠ACB=∠CDB，
∴CD=BC=3，△BCD∽△BAC，
∴ ，即 ，
解得：BD= ，
∴AD=AB﹣BD= ，
∵CD∥PQ，
∴△APQ∽△ACD，
∴ ，即 ，
解得：AP= AQ，
當(dāng)AQ= 時(shí)，AP= × = ＞5，不合題意，舍去；
當(dāng)AQ=3時(shí)，AP= ×3= ＜5，符合題意；
當(dāng)AQ= 時(shí)，點(diǎn)P與C重合，不合題意，舍去；
當(dāng)AQ=2時(shí)，AP= ×2= ＜5，符合題意；
當(dāng)AQ= 時(shí)，AP= × = ＜5，符合題意；
綜上所述：可以作為線段AQ長(zhǎng)的有3個(gè)；
所以答案是：3．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．