【題目】數(shù)學(xué)課上,同學(xué)們遇到這樣一個問題:

如圖1,已知, ,、分別是 的角平分線,請同學(xué)們根據(jù)題中的條件提出問題,大家一起來解決(本題出現(xiàn)的角均小于平角)

同學(xué)們經(jīng)過思考后,交流了自己的想法:

小強說:如圖2,若重合,且,時,可求的度數(shù).

小偉說:在小強提出問題的前提條件下,將邊從邊開始繞點逆時針

轉(zhuǎn)動,可求出的值.

老師說:在原題的條件下,借助射線的不同位置可得出的數(shù)量關(guān)系.

(1)請解決小強提出的問題;

(2)在備用圖1中,補充完整的圖形,并解決小偉提出的問題

(3)在備用圖2中,補充完整的圖形,并解決老師提出的問題,即求三者之間的的數(shù)量關(guān)系.

【答案】145;(2;(3、180、180

【解析】

1)根據(jù)角平分線定義即可解決小強提出的問題;

2)在備用圖1中,補充完整的圖形,根據(jù)角平分線定義及角的和差計算即可解決小偉提出的問題;

3)在備用圖2中,補充完整的圖形,分四種情況討論即可解決老師提出的問題,進(jìn)而求出三者之間的數(shù)量關(guān)系.

1)如圖2,

∵∠AOB120,OF是∠BOC的角平分線

∴∠FOCAOB60

∵∠COD30,OE是∠AOD的角平分線

∴∠EOCCOD15

∴∠EOF=∠FOCEOC45

答:∠EOF的度數(shù)為45;

2)如圖3,

OE、OF分別是∠AOD與∠BOC的角平分線,

∴設(shè)∠AO=∠DOEAOD

BOF=∠COFBOC

∴∠BOE=∠AOBAOE120

∵∠BOC=∠AOB+∠CODAOD1502

∴∠COF75

∴∠DOF=∠COFCOD753045°

∴∠BOEDOF=(120((45)=75

∵∠COE=∠CODDOE30

∴∠EOF=∠FOCCOE=(7530)=45

答:的值為;

3)∵OE、OF分別是∠AOD與∠BOC的角平分線,

∴設(shè)∠AOE=∠DOEAOD

BOF=∠COFBOC

∴①如圖4

AOC=∠AODCOD2β

∵∠BOC=∠AOBAOC

2

2

∴∠FOCBOC

∵∠COE=∠DOECOD

∴∠EOF=∠FOC+∠COE

).

②如圖5,

AOC=∠AOD+∠COD2

∵∠BOC=∠AOBAOC

2

2

∴∠FOCBOC

∵∠COE=∠DOE+∠COD

∴∠EOF=∠FOC+∠COE

).

③如圖6,

AOC=∠AOD+∠COD2

∵∠BOC360AOBAOC

3602

3602

∴∠FOCBOC180

∵∠COE=∠DOE+∠COD

∴∠EOF=∠FOC+∠COE

180

180).

④如圖7,

AOC=∠AODCOD2

∵∠BOC360AOBAOC

3602

3602

∴∠FOCBOC180

∵∠COE=∠DOECODβ

∴∠EOF=∠FOC+∠COE

180

180).

答:、β、∠EOF三者之間的數(shù)量關(guān)系為:)、)、180)、180).

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