Question

如圖是瑞典人科赫（Koch）在1906年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的科赫雪花圖案．圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間長(zhǎng)度為底邊分別向外作正三角形，再把“底邊”線段抹掉．反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就會(huì)得到一個(gè)“雪花”樣子的曲線．這是一個(gè)極有特色的圖形：在圖形不斷變換的過(guò)程中，它的周長(zhǎng)趨于無(wú)窮大，而其面積卻趨于定值．如果假定原正三角形邊長(zhǎng)為a，則可算出下圖每步變換后科赫雪花的周長(zhǎng)：C₁=3a，C₂=

 

，C₃=

 

，…，則C_n=

 

．

Answer 1

分析：此題注意首先根據(jù)前面幾個(gè)圖形找到相鄰周長(zhǎng)之間的關(guān)系，再進(jìn)一步得到和第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系．

解答：解：觀察發(fā)現(xiàn)：第二個(gè)圖形在第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上多了它的周長(zhǎng)的

1

3

，
即為

4

3

•3a，
第三個(gè)在第二個(gè)的基礎(chǔ)上，多了其周長(zhǎng)的

1

3

，即為(

4

3

)2•3a，
依此類(lèi)推，則得到的第n個(gè)圖形的周長(zhǎng)是第一個(gè)周長(zhǎng)的(

4

3

)n，
即其周長(zhǎng)是(

4

3

)n-1•3a．
故答案為：

4

3

•3a，(

4

3

)2•3a，(

4

3

)n-1•3a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面圖形，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力，難度較大．