Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊作如圖所示的正方形CDEF．連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF．
（1）猜想OD和DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)OD=t，求OB的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）若點(diǎn)B在E的右側(cè)時(shí)，△BFE與△OFE能否相似？若能，請(qǐng)你求出此時(shí)經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線解析式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）OD=DE，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出直線OA在第一象限的角平分線上，因此△OCD是等腰直角三角形，OD=CD，根據(jù)四邊形CDEF是正方形，因此CD=DE，即OD=DE．
（2）可根據(jù)相似三角形ACF和AOB來(lái)求解．根據(jù)兩三角形相似可得出關(guān)于CF，OB，AC，AO的比例關(guān)系式，可用t表示出CF，CD即可得出OB的長(zhǎng)．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論：
①∠FOE=∠FBE，此時(shí)△BFE≌△OFE，可得出OE=BE，那么OB=2OE=4OD，再根據(jù)（2）的結(jié)果即可得出t的值，進(jìn)而可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)O，A，B三點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線的解析式．
②∠OFE=∠FBE，此時(shí)EF²=OE•BE，據(jù)此可表示出BE的長(zhǎng)，而后仿照①的解法求出t的值，進(jìn)而根據(jù)O，A，B三點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求拋物線的解析式．

解答：解：（1）OD=DE
理由：根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)可知：∠AOB=45°，
因此△OCD是等腰直角三角形，
∴OD=CD，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=DE=OD

（2）在直角三角形OCD中，OD=t
因此OC=

2

t
易知OA=2

2

，
∴AC=2

2

-

2

t．
∵CF∥OB
∴△ACF∽△AOB
∴

CF

OB

=

AC

OA

，
即

t

OB

=

2 2 - 2 t

2 2

，OB=

2t

2-t

（3）本題分兩種情況：
①∠FOE=∠FBE，則有△BFE≌△OFE
∴OE=BE=2t
∴OB=4t=

2t

2-t

，
解得t=

3

2

∴OB=4t=6，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-6），由于拋物線過(guò)A點(diǎn)，則有：
2=a×2×（2-6），a=-

1

4

因此拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x．
②∠OFE=∠FBE，由于△BFE∽△OFE，可得：
EF²=OE•BE，即t²=2t•BE，
∴BE=

t

2

∴OB=OE+BE=2t+

1

2

t=

5

2

t．
∴OB=

2t

2-t

=

5

2

t，
解得t=

6

5

∴OB=3
因此B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）．
則過(guò)A，B，O三點(diǎn)的拋物線為y=-x²+3x．
因此△BFE與△OFE能相似，此時(shí)過(guò)A，O，B三點(diǎn)的拋物線為y=-

1

4

x²+

3

2

x或y=-x²+3x．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．