Question

Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，過(guò)C作CP⊥AB，垂足為P，一直角頂點(diǎn)與P重合，兩邊分別交AC，BC于F，E．
（1）PF，PE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若圖中“AC=BC”改為“AC≠BC”，其他條件不變，則PF、PE的數(shù)量關(guān)系怎樣？與AC，BC兩邊的長(zhǎng)有何關(guān)系？為什么？若AC：BC=2：1，則PF、PE的數(shù)量關(guān)系怎樣？

Answer 1

【答案】分析：（1）應(yīng)該是相等的關(guān)系，可通過(guò)證明△PCF≌△PBE來(lái)求得；
（2）根據(jù)已知及相似三角形的判定方法得到△PCA∽△PBC，△PCF∽△PBE，再根據(jù)相似三角形的邊對(duì)應(yīng)成比例即可求得PF、PE的數(shù)量關(guān)系．
解答：解：（1）PF=PE．
證明：直角三角形ABC中，CP⊥AB，
因此∠A+∠ACP=∠A+∠B=90°，
∴∠ACP=∠B．
∵∠CPF+∠CPE=90°，∠EPB+∠CPE=90°，
∴∠CPF=∠BPE．
三角形PCF和PBE中，
∴△PCF≌△PBE．
∴PF=PE．

（2）直角三角形ABC中，CP⊥AB，
∴∠A+∠ACP=∠A+∠B=90°．
∴∠ACP=∠B．
∵∠APC=∠BPC=90°，
∴△PCA∽△PBC．
∴AC：BC=PC：PB．
∵∠CPF+∠CPE=90°，∠EPB+∠CPE=90°，
∴∠CPF=∠BPE．
∵∠ACP=∠B，
∴△PCF∽△PBE．
∴PC：PB=PF：PE．
∴PF：PE=AC：AB．
當(dāng)AC：BC=2：1時(shí)，PF=2PE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，本題中通過(guò)全等或相似三角形來(lái)得出線(xiàn)段相等或成比例是解題的關(guān)鍵．