Question

已知：Rt△ABC中，AC⊥BC，CD為AB邊上的中線，AC=6cm，BC=8cm；點(diǎn)O是線段CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合）；以點(diǎn)O為圓心、OC為半徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，EF⊥AB于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線．（如圖1）
（2）請(qǐng)分析⊙O與直線AB可能出現(xiàn)的不同位置關(guān)系，分別指出線段EF的取值范圍．（圖2供思考用）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得CD=AD，由等邊對(duì)等角，得到∠A=∠OCE，還可證明∠A=∠OEC，由EF⊥AB，可得∠OEF=90°，從而得出EF是⊙O的切線．
（2）由△AEF∽△ABC，則

AE

AB

=

EF

BC

，設(shè)EF=x，則AE=

5

4

x，由OE⊥FE，F(xiàn)E⊥AB，可得出OE‖AD，即

OE

AD

=

OC

CD

=

EC

AC

，則求得OE，我們作圓心O到AB的垂線段，不難發(fā)現(xiàn)O到AB的距離=EF（矩形的對(duì)邊相等），所以現(xiàn)在我們只需要判斷EF和半徑的大小關(guān)系就行了．①當(dāng)EF=OE時(shí)，圓O與AB相切，②當(dāng)EF＜OE時(shí)，AB與圓O相交，③當(dāng)EF＞OE時(shí)，AB與圓O相離．

解答：解：（1）證明：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊中線，
∴CD=AD，
∴∠A=∠OCE．
又∵OE=OC，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠A=∠OEC，
又∵EF⊥AB于F，
∴∠A+∠FEA=90°，
∴∠OEC+∠FEA=90°，
∴∠OEF=180-（∠OEC+∠FEA）=90°，
∴OE⊥EF，
∴EF是圓O的切線；

（2）∵△AEF∽△ABC，
∴

AE

AB

=

EF

BC

，
即

AE

10

=

EF

8

，
設(shè)EF=x，則AE=

5

4

x．
∵OE⊥FE，F(xiàn)E⊥AB，
∴OE‖AD，
∴

OE

AD

=

OC

CD

=

EC

AC

，
即

OE

5

=

6- 5x 4

6

∴OE=5-

25

24

x．
過點(diǎn)O作OG⊥AB，則四邊形OEFG為矩形．
①當(dāng)EF=OE時(shí)，圓O與AB相切，
x=5-

25

24

x，
解得：x=

120

49

，
②當(dāng)EF＜OE時(shí)，AB與圓O相交，
x＜5-

25

24

x，
解得：x＜

120

49

，
則0＜x＜

120

49

；
③當(dāng)EF＞OE時(shí)，AB與圓O相離，
x＞5-

25

24

x，
解得：x＞

120

49

，
故5≥x＞

120

49

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線、勾股定理、直線和圓的位置關(guān)系，注意分類思想的使用．