Question

【題目】如圖①，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)為拋物線第一象限上一動(dòng)點(diǎn)，連接、、.

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)的面積最大時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)與拋物線頂點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，在直線上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為，理由見解析

【解析】

(1 )只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式，運(yùn)用配方法就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2) 過點(diǎn)作軸，交線段于點(diǎn)，直線的表達(dá)式為:，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為,得出；可得，即可求出的面積最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）

在軸上取，連接，過直線與軸的交點(diǎn)作.利用勾股逆定理可得為直角三角形，，故，求出直線的表達(dá)式為，且點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立即可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.解得：，，，可得，故，得出，求出直線的表達(dá)式為，及直線的表達(dá)式為聯(lián)立可得點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）將、代入得：

，

解得：.

∴拋物線的解析式為.

∴

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）過點(diǎn)作軸，交線段于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即，

設(shè)直線的表達(dá)式為，

將、代入得：

，解得：.

∴直線的表達(dá)式為，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴；

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，.

∴此時(shí)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）存在.

在軸上取，連接，過直線與軸的交點(diǎn)作.

∵，，，

∴，，，

∴，

∴為直角三角形，，

∴，

∵直線過點(diǎn)，

∴，解得：.

∴直線的表達(dá)式為，且點(diǎn)坐標(biāo)為，

由，解得：或，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解得：，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴直線的表達(dá)式為，

∴設(shè)直線的表達(dá)式為，

將點(diǎn)代入得：，解得：.

∴設(shè)直線的表達(dá)式為.

由解得：或，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為.