Question

已知：如圖所示，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點A（3，2）．
（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）M（m，n）是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中0＜m＜3，過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B；過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D．當四邊形OADM的面積為6時，求M點坐標．

Answer 1

分析：（1）由點A為正比例與反比例函數(shù)圖象的交點，將A點坐標代入正比例函數(shù)y=ax中，求出a的值，確定出正比例函數(shù)的解析式，將A點坐標代入反比例函數(shù)y=

k

x

中，求出k的值，確定出反比例函數(shù)的解析式；
（2）過M作MN垂直于x軸，由M為反比例函數(shù)上的點，將M的坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出mn=6，同時由三個角為直角的四邊形為矩形，得到四邊形BOCD為矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得出BO=DC，又BMNO為矩形，得到MN=BO，由M的縱坐標為n，得到MN=BO=DC=n，橫坐標為m，得到BM=m，由A的坐標得出AC及OC的長，四邊形OADM的面積=矩形BOCD的面積-三角形BMO的面積-三角形AOC的面積，利用矩形及三角形的面積公式分別表示出各自的面積，將mn=6及四邊形OADM的面積為6代入，得出關于n的方程，求出方程的解得到n的值，進而求出m的值，即可確定出M的坐標．

解答：解：（1）∵點A（3，2）為正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，
∴將x=3，y=2代入正比例解析式y(tǒng)=ax得：3a=2，解得：a=

2

3

，
將x=3，y=2代入反比例解析式y(tǒng)=

k

x

得：

k

3

=2，解得：k=6，
∴正比例函數(shù)解析式為y=

2

3

x，反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；

（2）過M作MN⊥x軸于N點．
∵M（m，n）（0＜m＜3）是反比例函數(shù)圖象上的一動點，且四邊形OCDB為矩形，
∴mn=6，BM=m，BO=DC=MN=n，
又A（3，2），
∴AC=2，OC=3，又mn=6，
∴S_{四邊形OADM}=S_矩形OCDB-S_△BMO-S_△AOC=3n-

1

2

mn-

1

2

×2×3=3n-6=6，
解得：n=4，
由mn=6，得到4m=6，解得：m=

3

2

，
則M坐標為（

3

2

，4）．

點評：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，矩形的判定與性質(zhì)，以及點與坐標的關系，利用了數(shù)形結合及方程的思想，是中考中常考的題型．