Question

如圖，矩形ABCD的頂點A坐標為（0，0），頂點B的坐標是（-2，1），頂點C在y軸上．
（1）求點D的坐標；
（2）將矩形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在x軸的點G處，得到矩形AEFG，EF與AD交于點H．過點H的反比例函數(shù)圖象交FG于點I．求△AHI的面積；
（3）小明猜想△AHI是一個直角三角形，他的猜想對嗎？請談?wù)勀愕目捶ǎ?br/>

Answer 1

（1）過B，D作△ABC和△ACD的高BM，DN，
在△ABC和△ACD中，

AB=CD AC=AC BC=AD

，
∴△ABC≌△ACD，
∴BM=DN=2，
過點B，D作x軸的垂線BP，DQ，則OP=AQ=2．
∵∠BAD=90°，
∴∠BAP+∠DAQ=90°，
又∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△OBP∽△DAQ，
∴

BP

AQ

=

OP

DQ

，
即

1

2

=

2

DQ

，
∴DQ=4，
則D的坐標是（2，4）．

（2）（3）設(shè)直線OD的解析式是y=kx，把（2，4）代入解得k=2，
因而函數(shù)解析式是y=2x，
在直角△OBP中，根據(jù)勾股定理得到OB=

5

，
∴OE=OB=

5

，
即H點的縱坐標是

5

，
把y=

5

代入y=2x，得到x=

5

2

，
則H點的坐標是（

5

2

，

5

），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=

k

x

，把H點的坐標（

5

2

，

5

）代入解得k=

5

2

，
則解析式是y=

5

2x

，
在直角△ADQ中，根據(jù)勾股定理得到OD=

OQ2+DQ2

=2

5

，
∴OG=OD=2

5

，
則I點的橫坐標是2

5

，
把x=2

5

代入解析式得到y(tǒng)=

5

4

，
則I點的坐標是（2

5

，

5

4

），
∴OH²=

25

4

，OI²=

325

16

HI²=

225

16

，
∵

25

4

+

225

16

=

325

16

，
即AH²+HI²=AI²，
∴△AHI是一個直角三角形，
∴△AHI的面積是

25 4

•

225 16

÷2=

75

16

．