【題目】四邊形的一條對角線將這個四邊形分成兩個三角形,如果這兩個三角形相似(不全等),那么我們將這條對角線叫做這個四邊形的相似對角線.
(1)如圖1,四邊形中,,,對角線平分,求證:是四邊形的相似對角線;
(2)如圖2,直線分別與,軸相交于,兩點,為反比例函數(shù)()上的點,若是四邊形的相似對角線,求反比例函數(shù)的解析式;
(3)如圖3,是四邊形的相似對角線,點的坐標為,軸,,連接,的面積為.過,兩點的拋物線()與軸交于,兩點,記,若直線與拋物線恰好有3個交點,求實數(shù)的值.
【答案】(1)詳見解析;(2)或或;(3)或
【解析】
(1)設(shè),則,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠BAC=∠DAC=50°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得,最后根據(jù)相似三角形的判定定理可證是四邊形的相似對角線;
(2)根據(jù)一次函數(shù)即可求出點A、B的坐標,再根據(jù)銳角三角函數(shù)值即可求出,,然后根據(jù)相似對角線的定義和相似三角形對應(yīng)角的情況分類討論,分別利用銳角三角函數(shù)求出點P的坐標,即可求出反比例函數(shù)的解析式;
(3)根據(jù)銳角三角函數(shù)和面積公式可得,然后根據(jù)相似對角線的定義即可求出AC,從而求出兩個m的值和兩條直線的解析式和,根據(jù)圖形可知,一定與拋物線有兩個交點,故與拋物線有且僅有一個交點,然后聯(lián)立方程令一元二次方程的△=0即可求出a的值.
(1)證明:如圖1,設(shè),則
∵,平分
∴∠BAC=∠DAC=
∴
在和中
∵,
∴∽
∴是四邊形的相似對角線.
(2)如圖2,可求得直線與兩坐標軸的交點分別為,
∴OA=4,OB=
在Rt△AOB中,
∴,
當是四邊形的相似對角線時,有如下情況:
①當∠APO=∠AOB=90°時,過點P作PQ⊥x軸于Q,如下圖所示,此時又分以下兩種情況
(i)當,
在Rt△OAP中,OP=OA·cos∠AOP=2
在Rt△OPQ中,OQ=OP·cos∠AOP=1,PQ= OP·sin∠AOP=
∴此時點,將點坐標代入,得
∴該反比例函數(shù)的解析式為;
(ii),
在Rt△OAP中,OP=OA·cos∠AOP=2
在Rt△OPQ中,OQ=OP·cos∠AOP=3,PQ= OP·sin∠AOP=
∴此時點,將點坐標代入,得
∴該反比例函數(shù)的解析式為;
②當∠OAP=∠AOB=90°時,此時又分以下兩種情況
(i)當∠AOP=∠OAB=30°時,如下圖所示,
∵OA=AO,∠OAP=∠AOB=90°
∴△OAP≌AOB,不符合相似對角線的定義,故舍去;
(ii)當時,如下圖所示,
在Rt△OAP中,AP=OA·tan∠AOP=
∴此時點,將點坐標代入,得
該反比例函數(shù)的解析式為;
③當∠AOP=∠AOB=90°時,此時點P在y軸上,故不存在反比例函數(shù)圖象,故舍去.
綜上所述:反比例函數(shù)的解析式為或或.
(3)如圖3,作的底邊邊上的高,則,
∴
在中,由勾股定理可求得,
∵,即
∴
∵是四邊形的相似對角線
若∽,由CA=CA可得≌,不符合相似對角線的定義,故舍去,
∴∽,
∴,
∴
∴,即
由點的坐標為可知,點的坐標為,
將,兩點的坐標代入拋物線,得
解得,,
所以拋物線的解析式可化為
由,得直線的解析為,,
∵直線與拋物線的交點必有兩個
∴直線與該拋物線的交點有且只有一個
∴方程組有且只有一組解
即關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.
∴,
解得或
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【題目】如圖,△ABC中,BC=4,⊙P與△ABC的邊或邊的延長線相切.若⊙P半徑為2,△ABC的面積為5,則△ABC的周長為( )
A.8B.10C.13D.14
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△DCE是△ABC繞著點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的,此時B、C、E在同一直線上.
(1)旋轉(zhuǎn)角的大小;
(2)若AB=10,AC=8,求BE的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,己知,.點從點開始沿邊向點以的速度移動;點從點開始沿邊內(nèi)點以的速度移動.如果、同時出發(fā),用表示移動的時間.
(1)用含的代數(shù)式表示:線段_______;______;
(2)當為何值時,四邊形的面積為.
(3)當與相似時,求出的值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,四邊形是正方形,作直線與正方形邊所在直線相交于
(1)若直線經(jīng)過點,求的值;
(2)若直線平分正方形的面積,求的坐標;
(3)若的外心在其內(nèi)部,直接寫出的取值范圍.
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【題目】如圖,拋物線與直線交于,兩點,與直線交于點,將拋物線沿著射線方向平移個單位.在整個平移過程中,點經(jīng)過的路程為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,點 C 為 Rt△ACB 與 Rt△DCE 的公共點,∠ACB=∠DCE=90°,連 接 AD、BE,過點 C 作 CF⊥AD 于點 F,延長 FC 交 BE 于點 G.若 AC=BC=25,CE=15, DC=20,則的值為___________.
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【題目】定義:在平面直角坐標系中,我們將函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的新曲線稱為“逆旋拋物線”.
(1)如圖①,己知點,在函數(shù)的圖象上,拋物線的頂點為,若上三點、、是、、旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點,連結(jié),、,則__________;
(2)如圖②,逆旋拋物線與直線相交于點、,則__________.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,E為AB的中點,
(1)求證:AC2=ABAD.
(2)求證:CE∥AD;
(3)若AD=4,AB=6,求AF的值.
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