Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+mx+n的圖象與y軸交于點N，其頂點M在直線y=-x上運動，O為坐標原點．

（1）當m=-2時，求點N的坐標；
（2）當△MON為直角三角形時，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-4，2），B（-4，-3），C（-2，2），當拋物線y=-x²+mx+n在對稱軸左側(cè)的部分與△ABC的三邊有公共點時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用頂點式得出M點坐標，再利用頂點在直線y=-x上，得出m與n的關(guān)系，進而得出n的值，即可得出N點坐標；
（2）若點M在第二象限時，△MON不可能為直角三角形，當點M在坐標原點時，△MON不存在，若點M在第四象限，當△MON為直角三角形時，顯然只有∠OMN=90°，再利用△OMN∽△MHO，得出OM²=MH•ON，設(shè)M（m，-m），則MH=m，OM²=m²，而ON=-n，得出m²=m×（-n），又m²+n=-m求出n，m的值即可；
（3）由（1）可知，y=-x²+mx-m²-m，當點A（-4，2）在該拋物線上時，-×（-4）²+4m-m²-m=2，求出m的值，再求出直線BC的解析式為：y=x+7，代入拋物線解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，令△=0得m的值，進而得出m的取值范圍．
解答：解：（1）∵y=-（x-m）²+m²+n，
∴拋物線頂點M坐標為：（m，m²+n），
∵頂點在直線y=-x上，
∴m²+n=-m，
當m=-2時，n=1，
∴點N的坐標為：（0，1）；

（2）若點M在第二象限時，△MON不可能為直角三角形，當點M在坐標原點時，
△MON不存在，若點M在第四象限，當△MON為直角三角形時，顯然只有∠OMN=90°，
如圖1，過點M在x軸的垂線，垂足為H，
∵∠HOM+∠MON=90°，
∠MON+∠ONM=90°，
∴∠HOM=∠ONM，
∵∠OHM=∠OMN=90°，
∴△OMN∽△MHO，
∴=，
∴OM²=MH•ON，
設(shè)M（m，-m），則MH=m，OM²=m²，而ON=-n，
∴m²=m×（-n），
即n=-m①，
又m²+n=-m②，
由①②解得：
m=，n=-；

（3）由（1）可知，y=-x²+mx-m²-m，
當點A（-4，2）在該拋物線上時，
-×（-4）²+4m-m²-m=2，
整理得出：m²+11m+20=0，
解得：m=，
∵在對稱軸的左側(cè)，∴m只能取，
∵B（-4，-3），C（-2，2），
設(shè)直線BC的解析式為y=ax+b，
則，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y=x+7，
代入拋物線解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，
令△=0得，（5-2m）²-4（m²+3m+14）=0，
解得：m=-，
∴≤m≤-．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和根的判別式等知識，熟練利用數(shù)形結(jié)合得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．