Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點，P異于A、D，Q是BC邊上的一動點，連接AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）請你判斷△APE與△PDF的關系，并說明理由；
（2）若Q是BC的中點，當P點運動到什么位置時，四邊形PEQF為菱形？說明理由；
（3）四邊形PEQF能否為矩形，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）△APE∽△PDF，由于PE∥DQ，那么∠APE=∠PDF，同理有∠DPF=∠PAE，易證△APE∽△PDF；
（2）當P運動到AD中點時，四邊形PEQF是菱形．先連接PQ，由于四邊形PEQF是菱形，那么∠AQP=∠DQP，而Q是BC中點，AB=CD，∠B=∠C，易證△ABQ≌△DCQ，于是AQ=DQ，再利用等腰三角形三線合一定理可知AP=DP，即P是AD中點；
（3）不能是矩形．先假設能，由于四邊形PEQF是矩形，那么∠EQF=90°，即∠AQB+∠DQC=90°，而∠AQB+∠QAB=90°，易得∠DQC=∠QAB，結合∠B=∠C=90°，易證△ABQ∽△QCD，再設BQ=x，則CQ=3-x，于是有2：x=（3-x）：2，
根據(jù)根的判別式可知此方程無實數(shù)解，說明假設錯誤，故不能是矩形．
解答：解：（1）△APE∽△PDF，
∵PE∥DQ，
∴∠APE=∠PDF，
∵PF∥AQ，
∴∠DPF=∠PAE，
∴△APE∽△PDF；

（2）當P運動到AD中點時，四邊形PEQF是菱形，連接PQ，
∵四邊形PEQF是菱形，
∴∠AQP=∠DQP，
∵Q是BC中點，
∴BQ=CQ，
又∵AB=CD，∠B=∠C，
∴△ABQ≌△DCQ，
∴AQ=DQ，
∵QE=QF，
∴AE=DF，
∵PE=PF，∠AEP=∠PFD，
∴△APD≌△DPF，
∴AP=DP，即P是AD中點；

（3）不能是矩形．
先假設能是矩形，
∵四邊形PEQF是矩形，
∴∠EQF=90°，
∴∠AQB+∠DQC=90°，
又∵∠AQB+∠QAB=90°，
∴∠DQC=∠QAB，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABQ∽△QCD，
設BQ=x，則CQ=3-x，
∴=，
即2：x=（3-x）：2，
∴x²-3x+4=0，
∵△=-7＜0，
∴此方程無實數(shù)解，
∴假設錯誤，
∴不能是矩形．
點評：本題考查了平行線的性質、相似三角形的判定和性質、等腰三角形三線合一定理、解一元二次方程、菱形性質、矩形性質．解題的關鍵是連接PQ，并且可先假設是菱形、矩形，再進行證明．