Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于四點(diǎn)．拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且分別與圓相切于點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸交軸于點(diǎn)，連結(jié)，并延長交圓于，求的長．
（3）過點(diǎn)作圓的切線交的延長線于點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

（1）（2）（3）點(diǎn)在拋物線上，理由見解析

解：（1）圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的半徑為1，
點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
拋物線與直線交于點(diǎn)，且分別與圓相切于點(diǎn)和點(diǎn)，
．
點(diǎn)在拋物線上，將的坐標(biāo)代入
，得：  解之，得：
拋物線的解析式為：．
（2）
拋物線的對稱軸為，
．
連結(jié)，

，，
又，
，
．
（3）點(diǎn)在拋物線上．
設(shè)過點(diǎn)的直線為：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得：，
直線為：．
過點(diǎn)作圓的切線與軸平行，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
將代入，得：．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
所以，點(diǎn)在拋物線上．
（1）根據(jù)⊙O半徑為1，得出D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用CO=1，AO=1，點(diǎn)M、N在直線y=x上，即可求出答案；
（2）先利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果；
（3）先求出直線CD的解析式，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可以判斷點(diǎn)是否在拋物線上．