我們知道,正方形的四條邊相等,四個角也都等于90°.如圖,在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE于點P.若AE=AP=1,PB=
5
;下列結(jié)論:
①△APD≌△AEB;②EB⊥ED;③點B到直線AE的距離為
2
;④S△APD+S△APB=
1+
6
2

其中正確結(jié)論的序號是( 。
分析:①利用同角的余角相等,易得∠EAB=∠PAD,再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等;
②利用①中的全等,可得∠APD=∠AEB,結(jié)合三角形的外角的性質(zhì),易得∠BEP=90°,即可證;
③過B作BF⊥AE,交AE的延長線于F,利用③中的∠BEP=90°,利用勾股定理可求BE,結(jié)合△AEP是等腰直角三角形,可證△BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EF、BF;
④連接BD,求出△ABD的面積,然后減去△BDP的面積即可;
解答:解:①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∵在△APD和△AEB中,
AE=AP 
∠EAB=∠PAD 
AB=AD 

∴△APD≌△AEB(SAS);
故此選項成立;
②∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED;
故此選項成立;
③過B作BF⊥AE,交AE的延長線于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵BE=
BP2-PE2
=
5-2
=
3
,
∴BF=EF=
6
2
,
∴點B到直線AE的距離為
6
2

故此選項不正確;
④如圖,連接BD,在Rt△AEP中,
∵AE=AP=1,
∴EP=
2
,
又∵PB=
5

∴BE=
3
,
∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE=
3

∴S△ABP+S△ADP=S△ABD-S△BDP=
1
2
S正方形ABCD-
1
2
×DP×BE=
1
2
×(4+
6
)-
1
2
×
3
×
3
=
1
2
+
6
2

故此選項不正確.
∴正確的有①②④,
故選B.
點評:本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運用、正方形的性質(zhì)的運用、正方形和三角形的面積公式的運用、勾股定理的運用等知識.
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