Question

【題目】如圖，OA，OB是⊙O的兩條半徑，OA⊥OB，C是半徑OB上一動點，連結AC并延長交⊙O于D，過點D作圓的切線交OB的延長線于E，已知OA＝8．

（1）求證：∠ECD＝∠EDC；
（2）若tanA＝ ，求DE長；
（3）當∠A從15°增大到30°的過程中，求弦AD在圓內掃過的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連結OD，

∵DE是⊙O的切線，∴∠EDC＋∠ODA＝90°，

又∵OA⊥OB，∴∠ACO＋∠A＝90°，

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A，∴∠EDC＝∠ACO，

又∵∠ECD＝∠ACO，∴∠ECD＝∠EDC．

（2）

解：∵tanA＝ ，∴ ，∴OC＝2，

設DE＝x，∵∠ECD＝∠EDC，∴CE＝x，∴OE＝2＋x．

∵∠ODE＝90°，∴OD2＋DE2＝OE2，

∴82＋x 2＝（2＋x）2，x＝15，∴DE＝CE＝15．

（3）

解：過點D作AO的垂線，交AO的延長于F，

當 時，則 ，DF＝4，

當 時， ，DF＝4 ，

，

【解析】（1）運用切線的性質以及對頂角相等，角的等量代換可證得；（2）由tanA＝ ，可解出OC，由（1）得∠ECD＝∠EDC ， 等角對等邊，則EC=DE，由勾股定理得OD2＋DE2＝OE2 ， 構造方程解出DE的長；（3）分別求出 和 時，弓形ABD的面積，再用前者減去后者即可得到答案.