Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與軸交于點(diǎn)A、B，且AB＝2，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2；

（1） 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2） 如果拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得△APC周長(zhǎng)的最小，求此時(shí)△APC周長(zhǎng)．

（3） 設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1） y=x2-4x+3；（2） ．（3） D的坐標(biāo)為：（2，-1）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸的定義易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根．由韋達(dá)定理易求b、c的值；

（2）如圖，連接AC、BC，BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，連接PA．根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得到PA=PB，則△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求該三角形的周長(zhǎng)的最小值即可；

（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，所以根據(jù)拋物線解析式利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵AB=2，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2．

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）．

∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，

∴1、3是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩根．

由韋達(dá)定理，得

1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3；

（2）連接AC、BC，BC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，連接PA．

由（1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+3，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3），

∴BC=，AC=．

∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=2對(duì)稱(chēng)，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC．

此時(shí)，PB+PC=BC．

∴點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（PA+PC）的最小值等于BC．

∴△APC的周長(zhǎng)的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=．

（3）如圖2，根據(jù)“菱形ADBE的對(duì)角線互相垂直平分，拋物線的對(duì)稱(chēng)性”得到點(diǎn)D是拋物線y=x2-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即（2，-1），

當(dāng)E、D點(diǎn)在x軸的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此時(shí)不合題意，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，-1）．