Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，雙曲線y＝kx﹣1（k≠0，x＞0）與邊AB、BC分別交于點(diǎn)N、F，連接ON、OF、NF．若∠NOF＝45°，NF＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_____．

Answer 1

【答案】(0，+1)

【解析】

將△OAN繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)N′，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)A′，由旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合，以及F、C、N′共線，通過角的計(jì)算即可得出∠N'OF＝∠NOF＝45°，結(jié)合ON′＝ON、OF＝OF即可證出△N'OF≌△NOF（SAS），由此即可得出N′M＝NF＝2，再由△OCF≌△OAN即可得出CF＝N，通過邊與邊之間的關(guān)系即可得出BN＝BF，利用勾股定理即可得出BN＝BF＝，設(shè)OC＝a，則N′F＝2CF＝2（a﹣），由此即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解方程即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

將△OAN繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)N′，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)A′，如圖所示．

∵OA＝OC，

∴OA′與OC重合，點(diǎn)A′與點(diǎn)C重合．

∵∠OCN′+∠OCF＝180°，

∴F、C、N′共線．

∵∠COA＝90°，∠FON＝45°，

∴∠COF+∠NOA＝45°．

∵△OAN旋轉(zhuǎn)得到△OCN′，

∴∠NOA＝∠N′OC，

∴∠COF+∠CON'＝45°，

∴∠N'OF＝∠NOF＝45°．

在△N'OF與△NOF中，

，

∴△N′OF≌△NOF（SAS），

∴NF＝N'F＝2．

∵△OCF≌△OAN，

∴CF＝AN．

又∵BC＝BA，

∴BF＝BN．

又∠B＝90°，

∴BF2+BN2＝NF2，

∴BF＝BN＝．

設(shè)OC＝a，則CF＝AN＝a﹣．

∵△OAN旋轉(zhuǎn)得到△OCN′，

∴AN＝CN'＝a﹣，

∴N'F＝2（a﹣），

又∵N'F＝2，

∴2（a﹣）＝2，

解得：a＝+1，

∴C（0，+1）．

故答案是：（0，+1）．