Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A（ ，1）在反比例函數(shù)y= 的圖象上．

（1）求反比例函數(shù)y= 的表達式；
（2）在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP= S△AOB ， 求點P的坐標；
（3）若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE．直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數(shù)的圖象上，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（ ，1）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴k= ×1= ，

∴反比例函數(shù)的表達式為y=

（2）

解：∵A（ ，1），AB⊥x軸于點C，

∴OC= ，AC=1，

由射影定理得OC2=ACBC，可得BC=3，B（ ，﹣3），

S△AOB= × ×4=2 ．

∴S△AOP= S△AOB= ．

設(shè)點P的坐標為（m，0），

∴ ×|m|×1= ，

∴|m|=2 ，

∵P是x軸的負半軸上的點，

∴m=﹣2 ，

∴點P的坐標為（﹣2 ，0）

（3）

解：點E在該反比例函數(shù)的圖象上，理由如下：

∵OA⊥OB，OA=2，OB=2 ，AB=4，

∴sin∠ABO= = = ，

∴∠ABO=30°，

∵將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，

∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，

∴BO=BD=2 ，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，

而BD﹣OC= ，BC﹣DE=1，

∴E（﹣ ，﹣1），

∵﹣ ×（﹣1）= ，

∴點E在該反比例函數(shù)的圖象上

【解析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確求出解析式是解題的關(guān)鍵．（1）將點A（ ，1）代入y= ，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達式；（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（ ，﹣3），計算求出S△AOB= × ×4=2 ．則S△AOP= S△AOB= ．設(shè)點P的坐標為（m，0），列出方程求解即可；（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出E點坐標為（﹣ ，﹣1），即可求解．
【考點精析】通過靈活運用比例系數(shù)k的幾何意義，掌握幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積即可以解答此題．