【題目】如圖,已知△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且AF=BD,連接BF.

(1)求證:BD=CD;(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀,并證明你的結(jié)論.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD,再利用等量代換即可得證;
(2)先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形,再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC.

(1)證明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,

∵E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE,

在△AEF和△DEC中,

∠AFE=∠DCE,AE=DE,∠AEF=∠DEC,

∴△AEF≌△DEC(AAS),

∴AF=CD,∵AF=BD,∴BD=CD;

(2)當(dāng)△ABC滿足AB=AC時(shí),四邊形AFBD是矩形.

理由如下:∵AF∥BD,AF=BD,

∴四邊形AFBD是平行四邊形,

∵AB=AC,BD=CD,

∴∠ADB=90°,

AFBD是矩形.

“點(diǎn)睛”本題考查了矩形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,是基礎(chǔ)題,明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵.

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(2)如圖3,ABC中,AGBC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn),分別以AB、AC為直角邊,向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF,過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(3)如圖4,ABC中,AGBC于點(diǎn)G,分別以AB、AC為一邊向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE,AC=kAF,試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系,說(shuō)明理由.

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