Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣ x2 x與x軸交于O，A，點(diǎn)B在拋物線上且橫坐標(biāo)為2．

（1）如圖1，△AOB的面積是多少？
（2）如圖1，在線段AB上方的拋物線上有一點(diǎn)K，當(dāng)△ABK的面積最大時(shí)，求點(diǎn)K的坐標(biāo)及△ABK的面積；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)H 在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)I在x軸上運(yùn)動(dòng)．則當(dāng)四邊形BHIK周長(zhǎng)最小時(shí)，求出H、I的坐標(biāo)以及四邊形BHIK周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)y=0時(shí)，得A（10，0）；

當(dāng)x=2時(shí)，y=4，所以B（2，4），

∴ ；

（2）解：過(guò)K作KM⊥x軸交AB于M點(diǎn)，

設(shè)K（m，﹣ m2 m），（2＜m＜10），

∵A（10，0），B（2，4），

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+5，

則KM=﹣ m2 m﹣（﹣ m+5）=﹣ m2+3m﹣5，

∴S△ABK= KM|xA﹣xB|=4KM=﹣m2+12m﹣20=﹣（m﹣6）2+16，

∴當(dāng)m=6時(shí)，S△ABK有最大值．

此時(shí)，K（6，6），S△ABK=16．

（3）解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（﹣2，4）、點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)K′（6，﹣6），

連接B′K′，分別交x軸于點(diǎn)I，交y軸于點(diǎn)H，此時(shí)四邊形BHIK的周長(zhǎng)最小，

∴B′K′的解析式為y=﹣ x+ ，

∴H（0， ）、I（ ，0），

∴四邊形BHIK周長(zhǎng)的最小值為B′K′+BK= + =2 +2 ．

【解析】（1）要求面積可求高，即yB；（2）（三邊均沒(méi)有水平邊或豎直邊的三角形可稱為斜三角形）△ABK是斜三角形，須過(guò)點(diǎn)K做x軸的垂線，把它分割為兩個(gè)有豎直邊的三角形，設(shè)出自變量，構(gòu)建函數(shù)，解決最值問(wèn)題;（3）四邊形BHIK周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為多條線段的和，可利用對(duì)稱法求兩線段之和最小，即做出定點(diǎn)B、K分別關(guān)于y、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)三條線段B'H，HI、IK' 在一條直線上時(shí)，周長(zhǎng)最短..
【考點(diǎn)精析】利用軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．