Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B（8，0），等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）把△OAB向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，對(duì)應(yīng)得到△O′A′B′，當(dāng)這個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)△O′A′B′一邊的中點(diǎn)時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）a的值為2或6．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)A坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式即可；

（2）分兩種情況討論：①反比例函數(shù)圖象過(guò)AB的中點(diǎn)；②反比例函數(shù)圖象過(guò)AO的中點(diǎn)．分別過(guò)中點(diǎn)作x軸的垂線，再根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半得出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式得出中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的法則得出a的值即可．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB于點(diǎn)C，

∵△OAB是等邊三角形，

∴∠AOB＝60°，OC＝OB，

∵B（8，0），

∴OB＝OA＝8，

∴OC＝4，AC＝．

把點(diǎn)A（4，）代入y＝，得k＝．

∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；

（2）分兩種情況討論：

①如圖2，點(diǎn)D是A′B′的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．

由題意得A′B′＝8，∠A′B′E＝60°，

在Rt△DEB′中，B′D＝4，DE＝，B′E＝2．

∴O′E＝6，

把y＝代入y＝，得x＝8，

∴OE＝8，

∴a＝OO′＝8﹣6＝2；

②如圖3，點(diǎn)F是A′O′的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H．

由題意得A′O′＝8，∠A′O′B′＝60°，

在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝2．

把y＝代入y＝，得x＝8，

∴OH＝8，

∴a＝OO′＝8﹣2＝6，

綜上所述，a的值為2或6．