Question

【題目】已知拋物線y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．

（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若在第三象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)E是線段AD上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接BE．一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BE以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，再沿線段ED以每秒 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所用時(shí)間最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）、點(diǎn)B兩的坐標(biāo)為（1，0），

∵直線y=﹣ x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，

∴b=﹣3 ，

∴y=﹣ x﹣3 ，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣5 ，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣5 ），

∵點(diǎn)D在拋物線上，

∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，

解得，a=﹣ ，

則拋物線的解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣1）=﹣ x2﹣2 x+3

（2）

解：如圖1中，作PH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn) P坐標(biāo)（m，n），

當(dāng)△BPA∽△ABC時(shí)，∠BAC=∠PBA，

∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 = ，

∴ = ，即n=﹣a（m﹣1），

∴ 解得m=﹣4或1（舍棄），

當(dāng)m=﹣4時(shí)，n=5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴ = ，

∴AB2=ACPB，

∴42= ，

解得a=﹣ 或 （舍棄），

則n=5a=﹣ ，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣4，﹣ ）．

當(dāng)△PBA∽△ABC時(shí)，∠CBA=∠PBA，

∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 = ，

∴ = ，

∴n=﹣3a（m﹣1），

∴ ，

解得m=﹣6或1（舍棄），

當(dāng)m=﹣6時(shí)，n=21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴ = ，即AB2=BCPB，

∴42= ，

解得a=﹣ 或 （不合題意舍棄），

則點(diǎn)P坐標(biāo)（﹣6，﹣3 ），

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣4，﹣ ）和（﹣6，﹣3 ）

（3）

解：如圖2中，作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，

則tan∠DAN= = = ，

∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，

∴DE= = EF，

∴Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t= + =BE+EF，

∴當(dāng)BE和EF共線時(shí)，t最小，

則BE⊥DM，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)（1，﹣4 ）

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的交點(diǎn)式確定點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AD的解析式，接著求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式確定a的值；（2）由于沒(méi)有明確說(shuō)明相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，因此需要分情況討論：①△ABC∽△BAP；②△ABC∽△PAB；（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據(jù)正切的定義求出Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=BE+EF時(shí)，t最小即可．