【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,拋物線y=+bx+c經(jīng)過A,B兩點,拋物線的頂點為D.

(1)、求b,c的值;

(2)、點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外),過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當(dāng)線段EF的長度最大時,求點E的坐標(biāo);

(3)、在(2)的條件下:求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積;在拋物線上是否存在一點P,使EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在,求出所有點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1)、b=-2;c=-3;(2)、(,);(3)、;

【解析】

試題分析:(1)、根據(jù)題意求出點A、點B的坐標(biāo),然后代入解析式求出b、c的值;(2)、射線求出直線AB的解析式,設(shè)出點E和F的坐標(biāo),求出EF的長度,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值;(3)、首先求出點D和點F的坐標(biāo),將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成BEF和DEF進行求解;過點E作aEF交拋物線與點P,設(shè)出點P的坐標(biāo),解出方程;過F作bEF交拋物線與點P,設(shè)出點P的坐標(biāo),解出方程.

試題解析:(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)二次函數(shù)y=+bx+c的圖像經(jīng)過點A(-1,0)B(4,5)

解得:b=-2 c=-3

(2)、如圖:直線AB經(jīng)過點A(-1,0) B(4,5) 直線AB的解析式為:y=x+1

二次函數(shù)y=-2x-3 設(shè)點E(t,t+1),則F(t,-2t-3)

EF=(t+1)-(-2t-3)=

當(dāng)時,EF的最大值= 點E的坐標(biāo)為(,

如圖:

順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD.

可求出點F的坐標(biāo)(,),點D的坐標(biāo)為(1,-4)

S=S+S

==

如圖:)過點E作aEF交拋物線于點P,設(shè)點P(m,)則有:解得:, ,

)過點F作bEF交拋物線于,設(shè)(n,)則有:

解得: ,(與點F重合,舍去)

綜上所述:所有點P的坐標(biāo):,能使EFP組成以EF為直角邊的直角三角形.

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(2)如圖2,將(1)中的條件改為:在ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有BDA=AEC=BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.

圖1 圖2

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(1)如圖2,求出拋物線完美三角形斜邊AB的長;

拋物線完美三角形的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是

(2)若拋物線完美三角形的斜邊長為4,求a的值;

(3)若拋物線完美三角形斜邊長為n,且的最大值為-1,求m,n的值.

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