Question

已知，如圖(a)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(x₁，0)，B(x₂，0)，C(0，－2)，其頂點(diǎn)為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)E作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)N�！螼NE=30°，。

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AD、BD,在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）如圖（b）,點(diǎn)Q為上的動(dòng)點(diǎn)（Q不與E、F重合），連結(jié)AQ交y軸于點(diǎn)H，問(wèn)：AH·AQ是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）圓的半徑，
連接EM，

∵NE是⊙M的切線，∴ME⊥NE。
在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4，
∴∠EMN=60°，MN=8�！郞M=2。
∴OA=2，OB=6。
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（―2，0），（6，0）。
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，－2)，
∴，解得。
∴拋物線的解析式為，即。
∵，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，）。
（2）如圖，由拋物線的對(duì)稱性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA。

若在拋物線對(duì)稱性的右側(cè)圖象上存在點(diǎn)P，使△ABP與△ADB相似，
必須有∠BAP=∠BPA=∠BPD。
設(shè)AP交拋物線的對(duì)稱軸于D′點(diǎn)，則D′（2，）。
∴直線AP的解析式為 。
由解得：
（舍去）。
∴P（10，8）。
過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，
在Rt△BGP中，BG=4，PG=8，
∴由勾股定理，得PB=。
∵PA=8，∴PA≠PB�！唷螧AP≠∠BPA。
∴△ABP與△ADB不相似。
同理可說(shuō)明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn)。
∴在該拋物線上不存在點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似。
（3）連接AF、QF，

在△AQF和△AFH中，
由垂徑定理易知：，
∴∠AQF=∠AFH。
又∠QAF=∠HAF，
∴△AQF∽△AFH。
∴，∴。
在Rt△AOF中，
，
∴AH·AQ＝16，即：AH·AQ為定值

試題分析：（1）由切線的性質(zhì)和含30度角直角三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而應(yīng)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，化為頂點(diǎn)式即可得到拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）應(yīng)用反證法分拋物線對(duì)稱性的右側(cè)和拋物線對(duì)稱性的左側(cè)兩種情況說(shuō)明在該拋物線上不存在點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似。
（3）由垂徑定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，可得，在Rt△AOF中，應(yīng)用勾股定理可得，從而得出AH·AQ為定值的結(jié)論。