【題目】如圖1,矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,3),定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(120),動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動,PQ兩點(diǎn)同時運(yùn)動,相遇時停止.在運(yùn)動過程中,以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.

1)當(dāng)t=   時,△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B;

2)設(shè)△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;

3)如圖2,過定點(diǎn)E50)作EF⊥BC,垂足為F,當(dāng)△PQR的頂點(diǎn)R落在矩形OABC的內(nèi)部時,過點(diǎn)Rx軸、y軸的平行線,分別交EF、BC于點(diǎn)MN,若∠MAN=45°,求t的值.

【答案】(1)1

(2)

(3)t的值為(8﹣2

【解析】試題分析:(1△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B時,△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形,則有AB=AQ,由此列方程求出t的值;

2)在圖形運(yùn)動的過程中,有三種情形,需要分類討論,避免漏解;

3)由已知可得ABFE為正方形;其次通過旋轉(zhuǎn),由三角形全等證明MN=EM+BN;設(shè)EM=m,BN=n,在Rt△FMN中,由勾股定理得到等式:mn+3m+n﹣9=0,由此等式列方程求出時間t的值.

試題解析:(1△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B時,△ABQ構(gòu)成等腰直角三角形,

∴AB=AQ,即3=4﹣t,

∴t=1

即當(dāng)t=1秒時,△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B

2當(dāng)0≤t≤1時,如答圖1﹣1所示.

設(shè)PRBC于點(diǎn)G,

過點(diǎn)PPH⊥BC于點(diǎn)H,則CH=OP=2tGH=PH=3

S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC

=8×3﹣2t+2t+3×3

=﹣6t+;

當(dāng)1t≤2時,如答圖1﹣2所示.

設(shè)PRBC于點(diǎn)GRQBC、AB于點(diǎn)S、T

過點(diǎn)PPH⊥BC于點(diǎn)H,則CH=OP=2tGH=PH=3

QD=t,則AQ=AT=4﹣t,

∴BT=BS=AB﹣AQ=3﹣4﹣t=t﹣1

S=S矩形OABC﹣S梯形OPGC﹣SBST

=8×3﹣2t+2t+3×3﹣t﹣12

=﹣t2﹣5t+19;

當(dāng)2t≤4時,如答圖1﹣3所示.

設(shè)RQAB交于點(diǎn)T,則AT=AQ=4﹣t

PQ=12﹣3t∴PR=RQ=12﹣3t).

S=SPQR﹣SAQT

=PR2AQ2

=12﹣3t24﹣t2

=t2﹣14t+28

綜上所述,S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為:

3∵E5,0),∴AE=AB=3,

四邊形ABFE是正方形.

如答圖2,將△AME繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABM′,其中AEAB重合.

∵∠MAN=45°∴∠EAM+∠NAB=45°,

∴∠BAM′+∠NAB=45°,

∴∠MAN=∠M′AN

連接MN.在△MAN△M′AN中,

∴△MAN≌△M′ANSAS).

∴MN=M′N=M′B+BN

∴MN=EM+BN

設(shè)EM=m,BN=n,則FM=3﹣m,FN=3﹣n

Rt△FMN中,由勾股定理得:FM2+FN2=MN2,即(3﹣m2+3﹣n2=m+n2,

整理得:mn+3m+n﹣9=0

延長MRx軸于點(diǎn)S,則m=EM=RS=PQ=12﹣3t),

∵QS=PQ=12﹣3t),AQ=4﹣t,

∴n=BN=AS=QS﹣AQ=12﹣3t4﹣t=﹣t+2

∴m=3n

代入式,化簡得:n2+4n﹣3=0,

解得n=﹣2+n=﹣2﹣(舍去)

∴2﹣t=﹣2+

解得:t=8﹣2

∠MAN=45°,則t的值為(8﹣2)秒.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,D為⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.

(1)求證:CD是⊙O的切線;

(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E,BC=6, .求BE的長.

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(1)求這條拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)M在對稱軸上,且位于頂點(diǎn)上方,設(shè)它的縱坐標(biāo)為m,聯(lián)結(jié)AM,用含m的代數(shù)式表示AMB的余切值;

(3)將該拋物線向上或向下平移,使得新拋物線的頂點(diǎn)C在x軸上.原拋物線上一點(diǎn)P平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,如果OP=OQ,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AT是經(jīng)過點(diǎn)A的切線,弦CD垂直ABP點(diǎn),Q為線段CP的中點(diǎn),連接BQ并延長交切線ATT點(diǎn),連接OT

(1)求證:BCOT;

(2)若⊙O直徑為10,CD=8,求AT的長;

(3)延長TO交直線CDR,若⊙O直徑為10,CD=8,求TR的長.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy,已知直線AByx+4x軸于點(diǎn)A,y軸于點(diǎn)B.直線CDyx﹣1與直線AB相交于點(diǎn)M,x軸于點(diǎn)C,y軸于點(diǎn)D

(1)直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)P是射線MD上的一個動點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x,△PBM的面積是S,Sx之間的函數(shù)關(guān)系;

(3)當(dāng)S=20平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)B、E、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,說明理由

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12(3x+4)-5(x+1)=4

2)6-3(x+ )=

3

4

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1)直接寫出OA   OB   ;

2)設(shè)運(yùn)動的時間為t秒,當(dāng)t為何值時,恰好有AN2AM

3)若點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn),Q為線段BN的中點(diǎn),MN在運(yùn)動的過程中,PQ+MN的長度是否發(fā)生變化?若不變,請說明理由,若變化,當(dāng)t為何值時,PQ+MN有最小值?最小值是多少?

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(1)y關(guān)于x的解析式;

(2)設(shè)x年后企業(yè)純利潤為z萬元(純利潤=創(chuàng)利-維修、保養(yǎng)費(fèi)用),投產(chǎn)后這個企業(yè)在第幾年就能收回投資?

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