Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，作直線．動(dòng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線的解析式；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段的最大值；

（Ⅲ）當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，y=﹣x+3；（2）當(dāng)m=時(shí)，MN有最大值，MN的最大值為；（3）或．

【解析】（1）由A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式；

（2）用m可分別表示出N、M的坐標(biāo)，則可表示出MN的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的最值可求得MN的最大值；

(3) 由條件可得出MN=OC，結(jié)合（2）可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值

本題解析：

（1）∵拋物線過A、C兩點(diǎn)，

∴代入拋物線解析式可得 ，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，

∵B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，

把B、C坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（2）∵PM⊥x軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，- m+3），

∵P在線段OB上運(yùn)動(dòng)，

∴M點(diǎn)在N點(diǎn)上方，

∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m=時(shí)，MN有最大值，MN的最大值為；

（3）∵PM⊥x軸，

∴MN∥OC，

當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則有OC=MN，

當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，則有MN=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m=3，此方程無實(shí)數(shù)根，

當(dāng)點(diǎn)P不在線段OB上時(shí)，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，

∴m2﹣3m=3，解得m=或m=，

綜上可知當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，m的值為或．