Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l與AB邊相交于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)∠AOD=α．
（1）當(dāng)α等于多少度時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形？并求此時(shí)AD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)α=90°時(shí)，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解法一：當(dāng)∠α=30°時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形．（1分）
當(dāng)∠α=30°時(shí)，∠EDB=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，AB=4，（2分）
在等腰梯形EDBC中，過(guò)點(diǎn)C作DB的垂線CF，
則BF=

1

2

BC=1，
∴DB=1+1+EC，（3分）
所以AB=AD+DB=AD+2+EC，又AD=EC，
所以AB=2+2AD，即4=2+2AD，所以AD=1（4分）
解法二：當(dāng)∠α=30°時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形．（1分）
∴ED=BC=2
∵CE∥AB
∴∠A=∠ECA
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
∴OA=OC
又∵∠α=∠EOC
∴△EOC≌△DOA（2分）
∴OD=OE=

1

2

ED=1（3分）
∵∠A=∠α=30°
∴AD=OD=1；（4分）

（2）當(dāng)∠α=90°時(shí)，四邊形EDBC是菱形．
證明：∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED．
∵CE∥AB，∴四邊形EDBC是平行四邊形．（5分）
在Rt△ABC中，由（1）中解法一知：AB=4，由勾股定理得：AC=2

3

，
∴AO=

1

2

AC=

3

，
∵∠α=∠ACB=90°
∴OD∥BC，
∵O為AC中點(diǎn)，
∴OD是△ABC的中位線，
∴AD=

1

2

AB=2
∴BD=4-2=2，
∴BD=BC=2，（7分）
∴平行四邊形EDBC是菱形．（8分）