Question

如圖，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使AE=15，連接BE交AC于點(diǎn)P．
（1）求AP的長(zhǎng)；
（2）若以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作⊙A，試判斷線段BE與⊙A的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）已知以點(diǎn)A為圓心，r₁為半徑的動(dòng)⊙A，使點(diǎn)D在動(dòng)⊙A的內(nèi)部，點(diǎn)B在動(dòng)⊙A的外部，求動(dòng)⊙A的半徑r₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可證得AE∥BC，可以列出比例式求出AP的值；
（2）作AH⊥BE，垂足為H，首先求出BE的長(zhǎng)，然后根據(jù)AB•AE=BE•AH式子求出AH的長(zhǎng)，最后比較AH和半徑的大�。�
（3）根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，動(dòng)⊙A的半徑r₁大于AD且小于AB．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥BC，
∴△BPC∽△EPA，
∵AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵

AP

CP

=

AE

CB

，
即

AP

10-AP

=

15

6

解得：AP=

50

7

．

（2）∵AB=8，AE=15，
∴BE=17．
作AH⊥BE，垂足為H，
則AB•AE=BE•AH，
∴AH=

AB•AE

BE

=

8×15

17

=

120

17

．
∵

50

7

＞

120

17

，
∴⊙A與BE相交．

（3）如圖，點(diǎn)D在動(dòng)⊙A的內(nèi)部，點(diǎn)B在動(dòng)⊙A的外部，
則動(dòng)圓A半徑的取值范圍為6＜r₁＜8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用好三角形相似和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，本題比較復(fù)雜，需要同學(xué)們做題時(shí)認(rèn)真仔細(xì)．