Question

【題目】如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=8，BC=6，點M從點D出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時，點N從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點C運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP⊥AD于點P，連接AC交NP于點Q，連接MQ．設運動時間為t秒．

（1）AM= ，AP= ．（用含t的代數式表示）

（2）當四邊形ANCP為平行四邊形時，求t的值

（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某時刻t，

①使四邊形AQMK為為菱形，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由

②使四邊形AQMK為正方形，求 出AC的長．

Answer 1

【答案】（1）8﹣2t，2+t;（2）t=2;（3）

【解析】

（1）由DM=2t，根據AM=AD-DM即可求出AM=8-2t；先證明四邊形CNPD為矩形，得出DP=CN=6-t，則AP=AD-DP=2+t；
（2）根據四邊形ANCP為平行四邊形時，可得6-t=8-（6-t），解方程即可；
（3））①由NP⊥AD，QP=PK，可得當PM=PA時有四邊形AQMK為菱形，列出方程6-t-2t=8-（6-t），求解即可，
②要使四邊形AQMK為正方形，由∠ADC=90°，可得∠CAD=45°，所以四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，由AD=8，可得CD=8，利用勾股定理求得AC即可．

解：（1）如圖1．

∵四邊形CNPD為矩形 ∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t，

∴AP=AD﹣DP=8﹣（6﹣t）=2+t；

故答案為：8﹣2t，2+t．

（2）∵四邊形ANCP為平行四邊形時，CN=AP，

∴6﹣t=8﹣（6﹣t），解得t=2，

（3）①存在時刻t=1，使四邊形AQMK為菱形．理由如下：

∵NP⊥AD，QP=PK

∴當PM=PA時有四邊形AQMK為菱形

∴6﹣t﹣2t=8﹣（6﹣t），解得t=1，

②要使四邊形AQMK為正方形．

∵∠ADC=90°,∴∠CAD=45°

∴四邊形AQMK為正方形，則CD=AD，

∵AD=8,∴CD=8,

∴AC＝．故答案為：