Question

【題目】已知，AB是⊙O的直徑，AB=8，點(diǎn)C在⊙O的半徑OA上運(yùn)動(dòng)，PC⊥AB，垂足為C，PC=5，PT為⊙O的切線，切點(diǎn)為T.

⑴如圖⑴，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，求PT的長(zhǎng);

⑵如圖⑵，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，連結(jié)PO、BT，求證：PO∥BT;

⑶如圖⑶，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式及的最小值.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）證明見解析；（3）y=x2-8x+25，9.

【解析】

試題分析：（1）連接OT，根據(jù)題意，由勾股定理可得出PT的長(zhǎng)；

（2）連接OT，則OP平分劣弧AT，則∠AOP=∠B，從而證出結(jié)論；

（3）設(shè)PC交⊙O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，由相交弦定理，可得出CD的長(zhǎng)，再由切割線定理可得出y與x之間的關(guān)系式，進(jìn)而求得y的最小值．

試題解析：（1）連接OT

∵PC=5，OT=4，

∴由勾股定理得，PT=；

（2）連接OT，∵PT，PC為⊙O的切線，

∴OP平分劣弧AT，

∴∠POA=∠POT，

∵∠AOT=2∠B，

∴∠AOP=∠B，

∴PO∥BT；

（3）設(shè)PC交⊙O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，

由相交弦定理，得CD2=ACBC，

∵AC=x，∴BC=8-x，

∴CD=，

∴由切割線定理，得PT2=PDPE，

∵PT2=y，PC=5，

∴y=[5-][5+]，

∴y=25-x（8-x）=x2-8x+25，

∴y最小==9．