Question

已知拋物線的頂點為點D，并與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．

（1）求點A、B、C、D的坐標；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）取點E（，0）和點F（0，），直線l經過E、F兩點，點G是線段BD的中點．
①點G是否在直線l上，請說明理由；
②在拋物線上是否存在點M，使點M關于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x²﹣12x﹣7=0，
解得x₁=，x₂=。∴A（，0），B（，0）。
在中，令x=0，則y= �！郈（0，）。
∵，∴頂點D（，﹣4）。
（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點P。
設點P的坐標為（0，y），
∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是對應邊，則△AOP∽△AOC，∴。∴y=OC=，此時點P（0，）。
②若OA和OC是對應邊，則△POA∽△AOC，∴，即。
解得y=，此時點P（0，）。
綜上所述，符合條件的點P有兩個，P（0，）或（0，）。
（3）①設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經過點E（，0）和點F（0，），
∴，解得，
∴直線l的解析式為。
∵B（，0），D（，﹣4），
∴，∴線段BD的中點G的坐標為（，﹣2）。
當x=時，，∴點G在直線l上。
②在拋物線上存在符合條件的點M。

設拋物線的對稱軸與x軸交點為H，則點H的坐標為（，0），
∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2。
∵，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB。∴∠OFE=∠HBD。
∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°。
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）
=180°﹣90°=90°，
∴直線l是線段BD的垂直平分線。
∴點D關于直線l的對稱點就是點B。
∴點M就是直線DE與拋物線的交點。
設直線DE的解析式為y=mx+n，
∵D（，﹣4），E（，0），
∴，解得。
∴直線DE的解析式為。
聯立，解得，。
∴符合條件的點M有兩個，是（，﹣4）或（，）。

試題分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程求出A、B的坐標，令x=0求出點C的坐標，再根據頂點坐標公式計算即可求出頂點D的坐標。
（2）根據點A、C的坐標求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應邊，OA和OC是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求出OP的長，從而得解。
（3）①設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求一次函數解析式求出直線l的解析式，再利用中點公式求出點G的坐標，然后根據直線上點的坐標特征驗證即可。
②設拋物線的對稱軸與x軸交點為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據相似三角形對應角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質點D關于直線l的對稱點就是B，從而判斷出點M就是直線DE與拋物線的交點。再設直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數法求一次函數解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可得到符合條件的點M。