【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,a)、B(b,0)且a>|b|.
(1)若a、b滿足a2+b2﹣4a﹣2b+5=0.
①求a、b的值;
②如圖1,在①的條件下,將點(diǎn)B在x軸上平移,且b滿足:0<b<2;在第一象限內(nèi)以AB為斜邊作等腰Rt△ABC,請用b表示S四邊形AOBC , 并寫出解答過程.
(2)若將線段AB沿x軸向正方向移動(dòng)a個(gè)單位得到線段DE(D對應(yīng)A,E對應(yīng)B)連接DO,作EF⊥DO于F,連接AF、BF.
①如圖2,判斷AF與BF的關(guān)系并說明理由;
②若BF=OA﹣OB,求∠OAF的度數(shù)(直接寫出結(jié)果).

【答案】解:(1)①∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0,
∴(a﹣2)2+(b﹣1)2=0,
∴a=2,b=1,
②∵A(0,2),B(b,0),
∴AB=,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴BC=AB=,
∴S四邊形AOBC=S△AOB+S△ABC=AOBO+BC2=b2+b+1,(0<b<2).
(2)①結(jié)論:FA=FB,F(xiàn)A⊥FB,理由如下:
如圖,

作FG⊥y軸,F(xiàn)H⊥x軸垂足分別為G、H.
∵A(0,a)向右平移a個(gè)單位到D,
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(a,a),點(diǎn)E坐標(biāo)為(a+b,0),
∴∠DOE=45°,
∵EF⊥OD,
∴∠OFE=90°∠FOE=∠FEO=45°,
∴FO=EF,
∴FH=OH=HE=(a+b),
∴點(diǎn)F坐標(biāo)(,),
∴FG=FH,四邊形FHOG是正方形,
∴OG=FH=,∠GFH=90°,
∴AG=AO﹣OG=a﹣=,BH=OH﹣OB=-b=,
∴AG=BH,
在△FGA和△FHB中,
,
∴△FGA≌△FHB,
∴FA=FB,∠AFG=∠BFH,
∴∠AFB=∠GFH=90°.
AF⊥BF,AF=BF.
②∵△FGA≌△FHB,
∴∠FBH=∠OAF,
在RT△BFH中,∵BF=OA﹣OB=a﹣b,BH=,
∴cos∠FBH=
∴∠FBH=60°,
∴∠OAF=60°.
故答案為60°.
【解析】(1)①化簡得(a﹣2)2+(b﹣1)2=0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出a、b.②利用S四邊形AOBC=S△AOB+S△ABC即可解決.
(2)①結(jié)論:AF=FB,AF⊥FB,作FG⊥y軸,F(xiàn)H⊥x軸垂足分別為G、H.,先證明四邊形FHOG是正方形,然后證明△FGA≌△FHB得FA=FB,∠AFG=∠BFH所以∠AFB=∠GFH=90°.從而得證.
②由△FGA≌△FHB得∠FBH=∠OAF,在RT△FBH中,求出cos∠FBH=的值即可解決.

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