Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過原點(diǎn)O，點(diǎn)A（10，0）和點(diǎn)B（2，2），在線段OA上，點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中保持AQ=2OP，當(dāng)P、Q重合時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)M，延長QM到點(diǎn)D，使MD=MQ，以QD為對(duì)角線作正方形QCDE（正方形QCDE隨點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)）．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)正方形QCDE的面積為S，P點(diǎn)坐標(biāo)（m，0）求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)N，延長PN到點(diǎn)G，使NG=PN，以PG為對(duì)角線作正方形PFGH（正方形PFGH隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2，0）時(shí)，如圖2，正方形PFGH的邊GF和正方形QCDE的邊EQ落在同一條直線上．
①則此時(shí)兩個(gè)正方形中在直線AB下方的陰影部分面積的和是多少？
②若點(diǎn)P繼續(xù)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，還存在兩個(gè)正方形分別有邊落在同一條直線上的情況，請(qǐng)直接寫出每種情況下點(diǎn)P的坐標(biāo)，不必說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線與x軸交于O、A兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的交點(diǎn)式，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求拋物線解析式；
（2）根據(jù)A（10，0），B（2，2）求直線AB的解析式，由AQ=2OP=2m，得到OQ=OA-AQ=10-2m，代入直線AB的解析式，可求M點(diǎn)縱坐標(biāo)，得出QD的表達(dá)式，根據(jù)S=

1

2

QD²求解；
（3）①將x=2代入拋物線解析式得y=2，可知N（2，2），G（2，4），當(dāng)GF和EQ落在同一條直線上時(shí)，△FGQ為等腰直角三角形，則PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直線AB解析式得M（6，1），即QM=1，由旋轉(zhuǎn)法可知，每一個(gè)陰影部分面積等所在正方形面積的一半，由此可求兩個(gè)陰影部分面積和；
②分為PF、DE，PF、CQ，GF、CD三種情況，求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線過O（0，0），A（10，0），
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-0）（x-10），
將B（2，2）代入，得a×2×（2-10）=2，解得a=-

1

8

，
∴拋物線解析式為y=-

1

8

x（x-10）=-

1

8

x²+

5

4

x；

（2）設(shè)AB解析式為y=kx+n，將A（10，0），B（2，2）代入，
得

10k+n=0 2k+n=2

，
解得

k=- 1 4 n= 5 2

，
則y=-

1

4

x+

5

2

，
∵P（m，0），
∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，
∴當(dāng)x=10-2m時(shí)，QM=-

1

4

（10-2m）+

5

2

=

1

2

m，
∴QD=m，
∵四邊形QCDE是正方形，
∴S=

1

2

QD²=

1

2

m²；

（3）①由P（2，0），根據(jù)拋物線解析式可知N（2，2），
由正方形的性質(zhì)得G（2，4），即PG=4，
又∵當(dāng)GF和EQ落在同一條直線上時(shí)，△PGQ為等腰直角三角形，
∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直線AB解析式得M（6，1），即QM=1，QD=2，
∴陰影部分面積和=

1

2

×（

1

2

PG²+

1

2

QD²）=5；
②P₁（2.5，0），P₂（

10

3

，0），P₃（9-

41

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及其與x軸垂直解題．