Question

【題目】在正方形中，是一條對(duì)角線，點(diǎn)在直線上(不與點(diǎn)、重合)，連接，平移，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，得到，過點(diǎn)作于，連接，．

（問題發(fā)現(xiàn)）

（1）如圖①，若點(diǎn)在線段上，與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．

（拓展探究）

（2）如圖②，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，否則說明理由．

（解決問題）

（3）若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，正方形的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)直接寫出求的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1），；（2）結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）連接HC，根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)得到△HDP≌△HQC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HP＝HC，∠DHP＝∠QHC，根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形證明結(jié)論；

（2）同（1）的證明方法相同，根據(jù)圖形證明即可；

（3）由（1）的結(jié)論AH＝PH，AH⊥PH，得出∠HPA＝45°，推導(dǎo)出∠APD＝30°，再由三角函數(shù)即可求解．

（1），．

證明如下：如解圖，連接，

∵四邊形是正方形，

∴∠，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

由平移的性質(zhì)可知，

在和中，，

∴，

∴，．

根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到，，

∴，

即，

∴，．

故答案為：，；

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，

理由如下：如解圖，連接，

∵四邊形是正方形，

∴，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

由平移的性質(zhì)可知，

在和中，，

∴，

∴，．

根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到，，

∴，

∴，；

（3）．

由（1）知，，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴．