Question

（2013•惠安縣質(zhì)檢）把兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不動(dòng)，將△DEF進(jìn)行如下操作：

（1）如圖1，將△DEF沿線段AB向右平移（即D點(diǎn)在線段AB內(nèi)移動(dòng)），當(dāng)D點(diǎn)移至AB的中點(diǎn)時(shí)，連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀是

菱形

；
（2）如圖2，將△DEF的D點(diǎn)固定在AB的中點(diǎn)，然后繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時(shí)F點(diǎn)恰好與B點(diǎn)重合，連接AE，則sinα的值等于

21

14

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質(zhì)，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個(gè)菱形；
（2）過D點(diǎn)作DH⊥AE于H，可以把要求的角構(gòu)造到直角三角形中，根據(jù)三角形ADE的面積的不同計(jì)算方法，可以求得DH的長，進(jìn)而求解．

解答：解：（1）如圖1，∵D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，
∴在直角三角形ABC中，
∴CD=AD=BD，
根據(jù)平移的性質(zhì)得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四邊形CDBF是菱形；

（2）如圖2，在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=AC•tan60°=

3

，AB=

AC

cos60°

=2．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，BE=BC=

3

，
則在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理知AE=

AB2+BE2

=

7

．
過D點(diǎn)作DH⊥AE于H，則S_△ADE=

1

2

AD•BE=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
又S_△ADE=

1

2

AE•DH=

1

2

×

7

DH=

3

2

，
DH=

3

7

=

21

7

，
∴在Rt△DHE′中，sinα=

DH

DE

=

21

14

．
故答案是：菱形；

21

14

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系以及相似三角形的判定與性質(zhì)和菱形的判定以及三角形面積求法等知識(shí)，利用平移性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．