Question

【題目】已知如圖，菱形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，對(duì)角線AC、BD交于原點(diǎn)O，DF⊥AB交AC于點(diǎn)G，反比例函數(shù)y=（x＞0）經(jīng)過(guò)線段DC的中點(diǎn)E，若BD=4，則AG的長(zhǎng)為（ ）

A． B．+2 C．2+1 D．+1

Answer 1

【答案】A

【解析】

試題分析：過(guò)E作y軸和x的垂線EM，EN，證明四邊形MENO是矩形，設(shè)E（b，a），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得ab=，進(jìn)而可計(jì)算出CO長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)可得∠DCO=30°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=2，然后利用勾股定理計(jì)算出DG長(zhǎng)，進(jìn)而可得AG長(zhǎng)．

解：過(guò)E作y軸和x的垂線EM，EN，

設(shè)E（b，a），

∵反比例函數(shù)y=（x＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，

∴ab=，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，DO=BD=2，

∵EN⊥x，EM⊥y，

∴四邊形MENO是矩形，

∴ME∥x，EN∥y，

∵E為CD的中點(diǎn)，

∴DOCO=4，

∴CO=2，

∴tan∠DCO==，

∴∠DCO=30°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=2，

∵DF⊥AB，

∴∠2=30°，

∴DG=AG，

設(shè)DG=r，則AG=r，GO=2﹣r，

∵AD=AB，∠DAB=60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠ADB=60°，

∴∠3=30°，

在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，

∴r2=（2﹣r）2+22，

解得：r=，

∴AG=，

故選：A．