Question

【題目】如圖，中，，，，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊，在的同側(cè)作菱形，使得．若菱形的邊經(jīng)過線段的中點(diǎn)．

（1）將菱形沿射線向右平移，記平移中的菱形菱形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止平移．設(shè)平移的距離為，是否存在這樣的，使△BDE是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（2）在（1）問的平移過程中，設(shè)菱形與重疊部分的面積為，請(qǐng)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）存在；當(dāng)，或時(shí)，△BDE是等腰三角形；（2）S與t的關(guān)系式為：；

【解析】

（1）根據(jù)題意，由菱形的性質(zhì)，解直角三角形求出OG，CF的長(zhǎng)度，以及求出所需的線段長(zhǎng)度，由△BDE是等腰三角形，可分為三種情況：①當(dāng)DE=EB時(shí)；②當(dāng)BD=BE時(shí)；③當(dāng)BD=DE時(shí)；分別求出t的值，即可得到答案；

（2）根據(jù)菱形的運(yùn)動(dòng)情況，可分為三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)；分別討論出重合的面積的計(jì)算方法，然后求出S與t的關(guān)系式，即可得到答案.

解：中，，，，

∴由勾股定理，得，

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，則BO=AO=20，

如圖，過F作FH⊥BC，OG⊥BC，則四邊形HGOF是矩形，

∴FH=OG，FO=HG，

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，OG∥AC，

∴OG=，CG=BG=16，

在Rt△CHF中，有

，

∴CH=9，

∴，

∴HG=OF=16-9=7，

∴OE=15-7=8；

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，向右平移了7個(gè)單位，即t=7；

∴，，，

∵，

∴，即；

要使△BDE是等腰三角形，則可分為以下幾種情況：

①當(dāng)DE=EB時(shí)，如圖：作EI⊥BC于點(diǎn)I，

∵DE=15，EI=12，由勾股定理得：

，

∴BD=18，

∴（不符合題意，舍去）；

②當(dāng)BD=BE時(shí)，如圖：

∵DE⊥AB，

∴DJ=EJ=，

∵,

∴，

∴，

∴；

③當(dāng)BD=DE=15時(shí)，△BDE是等腰三角形，

則；

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)B重合時(shí)，BD=DE=15，

此時(shí)；

∴當(dāng)，或時(shí)，△BDE是等腰三角形；

（2）根據(jù)題意，

∵，；

平移過程中可分成三種情況：

①當(dāng)時(shí)，如圖：

∴OE=8+t，

∴，，

∴重合部分的面積為：

；

②當(dāng)時(shí)，如圖：

∴，，

∴，,，,

∴，

∴；

③當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)重合部分的面積為三角形，

∴，

∴，，

∴；

綜合上述可知，S與t的關(guān)系式為：；