Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx+4的圖象與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AO上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O即停止運(yùn)動(dòng)．其中A、Q兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．如圖①．

（1）當(dāng)t=2秒時(shí)，OQ的長(zhǎng)度為　　　　 ；

（2）設(shè)MN、PN分別與直線yx+4交于點(diǎn)C、D，求證：MC=NC；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)正方形PQMN的對(duì)角線交于點(diǎn)E，MP與QD交于點(diǎn)F，如圖2，求OF+EN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）解方程得到OA=6，由t=2，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)AP=PQ=t，得到OQ=6-2t，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到PQ=QM=MN=PN=t，求得M（6-2t，t），N（6-t，t），C（6-t，t），求得CM=（6-t）-（6-2t）=t，CN=（6-t）-（6-t）=t，于是得到結(jié)論；
（3）作矩形NEFK，則EN=FK，推出當(dāng)O，F，K三點(diǎn)共線時(shí)，OF+EN=OF+FK的值最小，如圖，作OH⊥QN于H，解直角三角形即可得到結(jié)論．

（1）在yx+4中，令y=0，得x=6，∴OA=6．

∵t=2，∴AP=PQ=2，

∴OQ=6﹣2﹣2=2．

故答案為：2；

（2）∵AP=PQ=t，∴OQ=6﹣2t．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PQ=QM=MN=PN=t，

∴M（6﹣2t，t），N（6﹣t，t），C（6t，t），

∴CM=（6t）﹣（6﹣2t）t，

CN=（6﹣t）﹣（6t）t，

∴CM=CN；

（3）作矩形NEFK，則EN=FK．

∵OF+EN=OF+FK，

∴當(dāng)O，F，K三點(diǎn)共線時(shí)，OF+EN=OF+FK的值最小，如圖，

作OH⊥QN于H，

在等腰直角三角形PQN中，∵PQ=t，∴QNt，

∴HN=QN﹣QHt﹣（t﹣3）=3，

∴OF+EN的最小值為：HE+EN=HN=3．