Question

如圖，點P為△ABC的內(nèi)心，延長AP交△ABC的外接圓⊙O于D，過D作DE∥BC，交AC的延長線于E點．①則直線DE與⊙O的位置關(guān)系是

 

；②若AB=4，AD=6，CE=3，則DE=

 

．

Answer 1

分析：①連OD，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到∠BAD=∠DAE，再根據(jù)圓周角的推論得到弧DB=弧DC，利用垂徑定理得到OD⊥BC，而DE∥BC，
即可得到OD⊥DE；
②連BD，DC，由BC∥DE，得到∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，因此
∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，得到△CDE∽△BAD，則

ED

AD

=

CE

BD

=

CD

AB

，而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，先計算出CD，再計算出DE．

解答：解：①連OD，如圖，
∵點P為△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠DAE，
∵同弧或等弧所對的圓周角相等，
∴弧DB=弧DC，
∴OD⊥BC，
而DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

②連BD，DC，如圖，
則BD=DC，
∵BC∥DE，
∴∠E=∠ACB，∠BCD=∠CDE，
而∠ACB=∠ADB，∠BCD=∠BAD，
∴∠E=∠ADB，∠CDE=∠BAD，
∴△CDE∽△BAD，
∴

ED

AD

=

CE

BD

=

CD

AB

，
而AB=4，AD=6，CE=3，BD=DC，
∴

DE

6

=

3

DC

=

DC

4

，
∴DC=2

3

，則DE=3

3

．
故答案為：相切；3

3

．

點評：本題考查了圓的切線的判定方法：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了平行線的性質(zhì)和圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質(zhì)．