Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y= （x＞0）的圖象交于P（n，2），與x軸交于A（﹣4，0），與y軸交于C，PB⊥x軸于點B，且AC=BC．

（1）求一次函數、反比例函數的解析式；
（2）反比例函數圖象有一點D，使得以B、C、P、D為頂點的四邊形是菱形，求出點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點，即OA=OB=4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得： ，

解得：k= ，b=1，

∴一次函數解析式為y= x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=

（2）

解：如圖所示，

當PB為菱形的對角線時，

∵四邊形BCPD為菱形，

∴PB垂直且平分CD，

∵PB⊥x軸，P（4，2），

∴點D（8，1）．

當PC為菱形的對角線時，PB∥CD，

此時點D在y軸上，不可能在反比例函數的圖象上，故此種情形不存在．

綜上所述，點D（8，1）．

【解析】（1）先根據題意得出P點坐標，再將A、P兩點的坐標代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函數的解析式，把點P（4，2）代入反比例函數y= 即可得出m的值，進而得出結論；（2）根據PB為菱形的對角線與PC為菱形的對角線兩種情況進行討論即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用確定一次函數的表達式和菱形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．