【題目】2015山東省德州市,24,12分)已知拋物線y=-mx2+4x+2mx軸交于點(diǎn)Aα0), Bβ0),且

1)求拋物線的解析式.

2)拋物線的對稱軸為l,與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為E.是否存在x軸上的點(diǎn)My軸上的點(diǎn)N,使四邊形DNME的周長最小?若存在,請畫出圖形(保留作圖痕跡),并求出周長的最小值;若不存在,請說明理由.

3)若點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Qx軸上,當(dāng)以點(diǎn)DE、PQ為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1y=-x2+4x+2

2)四邊形DNME的周長的最小值為10+2

3)(2-,4),(2+,4),(2+,-4),(2-,-4).

【解析】

試題(1)利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=,αβ=﹣2,進(jìn)而代入求出m的值即可得出答案;

2)利用軸對稱求最短路線的方法,作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′,點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′,得出四邊形DNME的周長最小為:D′E′+DE,進(jìn)而利用勾股定理求出即可;

3)利用平行四邊形的判定與性質(zhì)結(jié)合P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±4,進(jìn)而分別求出即可.

解:(1)由題意可得:αβ是方程﹣mx2+4x+2m=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,

α+β=,αβ=﹣2,

=﹣2,

=﹣2,即=﹣2,

解得:m=1,

故拋物線解析式為:y=﹣x2+4x+2;

2)存在x軸上的點(diǎn)My軸上的點(diǎn)N,使得四邊形DNME的周長最小,

∵y=﹣x2+4x+2=﹣x﹣22+6,

拋物線的對稱軸lx=2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(26),

拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為:(02),點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于l對稱,

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,2),

作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′,點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′,

D′的坐標(biāo)為;(﹣2,6),E′坐標(biāo)為:(4﹣2),

連接D′E′,交x軸于M,交y軸于N,

此時(shí),四邊形DNME的周長最小為:D′E′+DE,如圖1所示:

延長E′E,′D交于一點(diǎn)F,在Rt△D′E′F中,D′F=6E′F=8,

D′E′===10,

設(shè)對稱軸lCE交于點(diǎn)G,在Rt△DGE中,DG=4,EG=2,

∴DE===2

四邊形DNME的周長最小值為:10+2;

3)如圖2,P為拋物線上的點(diǎn),過點(diǎn)PPH⊥x軸,垂足為H

若以點(diǎn)D、E、PQ為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則△PHQ≌△DGE

∴PH=DG=4,

∴|y|=4

當(dāng)y=4時(shí),﹣x2+4x+2=4

解得:x1=2+,x2=2﹣

當(dāng)y=﹣4時(shí),﹣x2+4x+2=﹣4,

解得:x3=2+,x4=2﹣

P點(diǎn)的坐標(biāo)為;(2﹣4),(2+,4),(2﹣﹣4),(2+,﹣4).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知⊙O 的直徑為 4,AB 是⊙O 的弦,∠AOB=120°,點(diǎn) P 在⊙O 上,若點(diǎn) P到直線 AB 的距離為 1,則∠PAB 的度數(shù)為_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在正方形ABCD中,對角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E、F滿足BE=DF,連接AE、AF、CE、CF,如圖所示

(1)求證:△ABE≌△ADF;

(2)試判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分別為E,F(xiàn).

(1)求證:△ADE≌△CBF;

(2)求證:四邊形BFDE為矩形.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AB6BC8,將△ABC折疊,使AB落在斜邊AC上,折痕為AD,則BD的長為( )

A. 6B. 5C. 4D. 3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一輛客車從甲地開往乙地,一輛出租車從乙地開往甲地,兩車同時(shí)出發(fā),它們離甲地的路程y(km)與客車行駛時(shí)間x(h)間的函數(shù)關(guān)系如圖,下列信息:

(1)出租車的速度為100千米/時(shí);

(2)客車的速度為60千米/時(shí);

(3)兩車相遇時(shí),客車行駛了3.75時(shí);

(4)相遇時(shí),出租車離甲地的路程為225千米.

其中正確的個(gè)數(shù)有(  )

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直線y2x+4分別與x軸,y軸交于BA兩點(diǎn)

1)求ABO的面積;

2)如果在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)P(1,m),請用含m的式子表示四邊形AOPB的面積;

3)在(2)的條件下,是否存在點(diǎn)P,使四邊形AOPB的面積是ABO面積的2倍?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,D是等邊ABCAB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)A、B重合),以CD為一邊向上作等邊EDC,連接AE

1)無論D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置,圖中總有一對全等的三角形,請找出這一對三角形,并證明你得出的結(jié)論;

2D點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中,直線AEBC始終保持怎樣的位置關(guān)系?并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ACD中,AD=9,CD=3,ABC中,AB=AC

1)如圖1,若CAB=60°ADC=30°,在ACD外作等邊ADD′

求證:BD=CD′

BD的長.

2)如圖2,若CAB=90°,ADC=45°,求BD的長.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案