Question

【題目】如圖1,在矩形中，,延長(zhǎng)至點(diǎn),使得過(guò)點(diǎn)作,交線段于點(diǎn)．設(shè)

（1）連結(jié),請(qǐng)求出的度數(shù)和的半徑(用的代數(shù)式表示)． (直接寫(xiě)出答案)

（2）證明:點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（3）如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn),使得, 連結(jié),交于點(diǎn)

①連結(jié),當(dāng)與四邊形其它三邊中的一邊相等時(shí)，請(qǐng)求出所有滿足條件的的值．

②當(dāng)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在上，連結(jié)．記和的面積分別為,請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

Answer 1

【答案】（1）90°，；（2）詳見(jiàn)解析；（3）①，或，或；②

【解析】

（1）利用圓心角與圓周角的關(guān)系可得到：∠BOD=2∠BED=2×45°=90°，再通過(guò)構(gòu)造全等三角形，最后利用勾股定理求解即可；

（2）連結(jié)，利用勾股定理計(jì)算得到 從而求解 可得結(jié)論，

（3）①要分三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論：DH=BD或DH=BE或DH=EH，可得答案． ②利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)求得BD、DC、DE、DH的值，作G′P⊥GE，DQ⊥GE，利用同底三角形面積之比等于高之比求得： 利用進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可得答案．

解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AD于M交BC于N，

∵ABCD是矩形，AB=x，AD=2AB

∴AB=CD=x，BC=AD=2x，∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°，BC∥AD

∵CE=BC

∴∠BED=∠CBE=45°

∴∠BOD=2∠BED=2×45°=90°

∴∠BON+∠DOM=90°

∵OM⊥AD，BC∥AD

∴OM⊥BC

∴∠AMO=∠OMD=∠BNO=90°

∴∠ODM+∠DOM=90°

∴∠BON=∠ODM，

∵OB=OD，

∴△BON≌△ODM（AAS）

∴BN=OM，ON=DM

∵∠A=∠ABC=∠AMO=90°

∴ABNM是矩形

∴AM=BN，MN=AB=x

∴AD=AM+DM=OM+DM=MN+2DM，

即：2x=x+2DM，DM= x

∴OM=MN+ON=MN+DM=

∴OD=

即⊙O的半徑為

如圖1，連結(jié)，

在矩形中

為的直徑，

點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（3）①如圖2,當(dāng)時(shí),

，

,

．

，

．

如圖2，當(dāng)時(shí)，

經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意．

如圖3,連結(jié)當(dāng)時(shí)，

為的中位線，

綜上：,當(dāng)與四邊形其它三邊中的一邊相等時(shí)， 的值為或或．

②如圖4，過(guò)D作DQ⊥GE于Q，過(guò)G′作G′P⊥GE延長(zhǎng)線于P，

連接GG′、G′B、G′E、G′H、G′D，GG′交DH于T，

∵G，G′關(guān)于DH對(duì)稱(chēng)，

∴GG′⊥DH，GG′=2GT，

∠HG′D=∠HGD，

∵∠HG′D=∠HED，

∴∠HED=∠HGD=45°

∴DG=DE，

即：10-x=3x，解得：x=，

由①知：此時(shí)，BD=DH=，直徑BH=，

DG=DG′=DE=，HS=ES=

∵∠BDC+∠EDH=∠EDH+∠GDT=90°，

∴∠BDC=∠GDT

∴△BDC∽△GDT

∴

∴DT=，TG=TG′=

TH=DH-DT=

GH=

∵G′P⊥GE

∴∠P=∠GTH=90°，∠HGT=∠G′GP

∴△GG′P∽△GHT

∴ 即：

解得：G′P＝

∵DQGH=GTDH，

即：

解得：DQ=

∴

∴

∴G′E∥BH

∴S△BEG′=S△G′EH

∴

即：