Question

【題目】如圖，正方形的邊長為2，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊、分別在軸、軸上，點(diǎn)是的中點(diǎn).點(diǎn)是線段上的一個(gè)點(diǎn)，如果將沿直線對折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在所在直線上.

（1）若點(diǎn)是端點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的位置關(guān)系是________，所在的直線是__________；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的位置關(guān)系是________，所在的直線表達(dá)式是_________；

（2）若點(diǎn)不是端點(diǎn)，用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求出所在直線的表達(dá)式；

（3）在（2）的情況下，軸上是否存在點(diǎn)，使的周長為最小值？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)A，y軸；B，y=x；（2）y=3x；(3)存在.由于，理由見解析．

【解析】

(1)由軸對稱的性質(zhì)可得出結(jié)論；
(2)連接OD，求出OD=，設(shè)點(diǎn)P(，2)，PA′=，PC=，CD=1．可得出()2=(2)2+12，解方程可得解x=．求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出答案；
(3)可得出點(diǎn)D關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是D′(2，-1)，求出直線PD′的函數(shù)表達(dá)式為，則答案可求出．

(1)由軸對稱的性質(zhì)可得，若點(diǎn)P是端點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，A′點(diǎn)的位置關(guān)系是點(diǎn)A，
OP所在的直線是y軸；
當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，
∵∠AOC=∠BOC=45°，
∴A′點(diǎn)的位置關(guān)系是點(diǎn)B，
OP所在的直線表達(dá)式是y=x．
故答案為：A，y軸；B，y=x；
(2)連接OD，

∵正方形AOBC的邊長為2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴OD=．
由折疊的性質(zhì)可知，OA′=OA=2，∠OA′D=90°．
∵OA′=OA= OB=2，OD公共，

∴()，

∴A′D=BD=1．
設(shè)點(diǎn)P(，2)，則PA′=，PC=，CD=1，
∴，即()2=()2+12，
解得：．
所以P(，2)，

設(shè)OP所在直線的表達(dá)式為，

將P(，2)代入得：，

解得：，
∴OP所在直線的表達(dá)式是；
(3)存在．

若△DPQ的周長為最小，
即是要PQ+DQ為最小，

作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是D′，

連接D′P交x軸于點(diǎn)Q，此時(shí)使的周長取得最小值，

∵點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)是D′(2，)，
∴設(shè)直線PD'的解析式為，
，
解得，
∴直線PD′的函數(shù)表達(dá)式為．
當(dāng)時(shí)，．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(，0)．