Question

【題目】拋物線：與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)在軸左側(cè)的拋物線上，將點(diǎn)先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在拋物線上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，將拋物線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，一次函數(shù)的圖象與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，探究：軸上是否存在定點(diǎn)滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出結(jié)論；

（2）設(shè)，則，利用待定系數(shù)法求出直線MC的解析式，過點(diǎn)作軸交于，根據(jù)點(diǎn)N與y軸的位置關(guān)系分類討論，利用“鉛垂高，水平寬”列出方程，即可求出結(jié)論；

（3）根據(jù)題意可得平移后的二次函數(shù)解析式為，設(shè)，求出直線l的解析式，然后聯(lián)立方程，令△=0即可求出，過點(diǎn)作于，記定點(diǎn)，連接、，利用相似三角形的判定證出，列出比例式即可求出結(jié)論．

解：（1）∵

∴OC=1

∵AB=4OC

∴AB=4

∵拋物線的對(duì)稱軸為y軸

∴OB=2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入中，得

∴拋物線的解析式為．

（2）解：可設(shè)，則，

，

設(shè)，

將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入，得

可得：，

過點(diǎn)作軸交于，

，

情況一：當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)，則

∴

解得，，（舍去），

∴此時(shí)M

情況二：當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)，則

∴

解得，

∴此時(shí)

綜上：或．

（3）解：存在，

由題意可知：平移后的二次函數(shù)解析式為

依題意可設(shè)，

將代入l中，

可得：

聯(lián)立

整理得，

即：

當(dāng)時(shí)，則

過點(diǎn)作于，記定點(diǎn)，連接、，

，

，

∴∠HEG＋∠EGH=90°，∠OGF＋∠EGH=90°

∴∠HEG=∠OGF

，

，

解得，或（由G為定點(diǎn)，故舍去）

．