Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，∠A=30°，BC=2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F．

（1）求劣弧PC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留π）

（2）求陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）π；（2）π﹣．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)垂徑定理求得PD⊥AB，然后根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)求得OA=2OD，進(jìn)而求得OF=OP，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求得OD=BC，從而求得OA=2，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求得劣弧PC的長(zhǎng)；

（2）求得OF和PF，然后根據(jù)S陰影=S扇形﹣S△OPF即可求得．

解：（1）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，PD經(jīng)過圓心，

∴PD⊥AB，

∵∠A=30°，

∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD，

∵PF⊥AC，

∴∠OPF=30°，

∴OF=OP，

∵OA=OC，AD=BD，

∴BC=2OD，

∴OA=BC=2，

∴⊙O的半徑為2，

∴劣弧PC的長(zhǎng)===π；

（2）∵OF=OP，

∴OF=1，

∴PF==，

∴S陰影=S扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．