Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A（m，0），與y軸交于點B（0，n），且m，n滿足：（m+n）2+|n﹣6|＝0．

（1）求：①m，n的值；②S△ABO的值；

（2）D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點F的坐標．

（3）如圖2，點E為y軸正半軸上一點，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點M是射線AF上一動點，點N是線段OA上一動點，試求OM+MN的最小值（圖1與圖2中點A的坐標相同）．

Answer 1

【答案】（1）①m＝﹣6，n＝6，②18；（2）F（0，﹣6）；（3）OM+MN的最小值為3．

【解析】

（1）①利用非負數的性質即可解決問題．

②先確定出OA＝OB＝6，從而求得△ABO的面積．

（2）先判斷出△DEM≌△BDO得出EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，進而判斷出AM＝EM，即可得出∠OAF＝45°，即可得出點F坐標，最后用待定系數法得出直線EA解析式．

（3）過點O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，連接MN，此時OM+MN的值最小．

（1）①∵（m+n）2+|n﹣6|＝0，

又∵（m+n）2≥0，|n﹣6|≥0．

∴m+n＝0，n＝6，

∴m＝﹣6，n＝6．

②∵直線AB與x軸交于點A（﹣6，0），與y軸交于B（0，6）．

∴OA＝6，OB＝6，

∴S△ABO＝OAOB＝×6×6＝18；

（2）如圖1，過點E作EM⊥x軸于M，

∴∠MDE+∠DEM＝90°，

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴DE＝DB，∠BDE＝90°，

∴∠MDE+∠BDO＝90°，

∴∠DEM＝∠BDO，

在△DEM和△BDO中，

，

∴△DEM≌△BDO（AAS），

∴EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，

∴AM＝DM+AD＝6+AD，

EM＝OD＝OA+AD＝6+AD，

∴EM＝AM，

∴∠MAE＝45°＝∠OAF，

∴OA＝OF，

∴F（0，﹣6）．

（3）如圖2中，

過點O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，連接MN，此時OM+MN的值最小．

∵∠MAG＝∠MAN，MG⊥AG，MN⊥AN，

∴MG＝MN，

∴OM+MN＝OM+MG＝OG，

在Rt△OAG中，∠OAE＝30°，OA＝6，

∴OG＝3，

∴OM+MN的最小值為3．