Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線l與拋物線交于A，C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A，C不重合），過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求△ACE面積的最大值；
（3）若直線PE為拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，拋物線與y軸交于點(diǎn)D，直線AC與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為直線PE上一動(dòng)點(diǎn)，則在x軸上是否存在一點(diǎn)N，使四邊形DMNQ的周長(zhǎng)最��？若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）點(diǎn)H是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、H四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令拋物線y=x²-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），求出P、E的坐標(biāo)，用x表示出線段PE的長(zhǎng)，求出PE的最大值，進(jìn)而求出△ACE的面積最大值；
（3）根據(jù)D點(diǎn)關(guān)于PE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C（2，-3），點(diǎn)Q（0，-1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M（0，1），則四邊形DMNQ的周長(zhǎng)最小，求出直線CM的解析式為y=-2x+1，進(jìn)而求出最小值和點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；
（4）結(jié)合圖形，分兩類(lèi)進(jìn)行討論，①CF平行x軸，如圖1，此時(shí)可以求出F點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)；②CF不平行x軸，如題中的圖2，此時(shí)可以求出F點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1，

（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），E（x，x²-2x-3），
∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（-x-1）-（x²-2x-3）=-x²+x+2，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，PE的最大值=

9

4

，
△ACE的面積最大值=

1

2

PE[2-（-1）]=

3

2

PE=

27

8

，

（3）D點(diǎn)關(guān)于PE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C（2，-3），點(diǎn)Q（0，-1）點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M（0，1），
連接CM交直線PE與M點(diǎn)，交x軸于N點(diǎn)，可求直線CM的解析式為y=-2x+1，此時(shí)四邊形DMNQ的周長(zhǎng)最小，
最小值=|CM|+QD=2

5

+2，
求得M（1，-1），N（

1

2

，0）．

（4）存在如圖1，若AF∥CH，此時(shí)的D和H點(diǎn)重合，CD=2，則AF=2，

于是可得F₁（1，0），F(xiàn)₂（-3，0），
如圖2，根據(jù)點(diǎn)A和F的坐標(biāo)中點(diǎn)和點(diǎn)C和點(diǎn)H的坐標(biāo)中點(diǎn)相同，

再根據(jù)|HA|=|CF|，
求出F₄（4-

7

，0），F(xiàn)₃(4+

7

，0)．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（1，0），F(xiàn)₂（-3，0），F(xiàn)₃(4+

7

，0)，F(xiàn)₄（4-

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)稱(chēng)的知識(shí)和分類(lèi)討論解決問(wèn)題的思路，此題難度較大．