【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,直徑AB=10.sinA=,點D為線段AC上一動點(不運動至端點A、C),作DF⊥AB于F,連結(jié)BD,井延長BD交⊙O于點H,連結(jié)CF.
(1)當DF經(jīng)過圓心O時,求AD的長;
(2)求證:△ACF∽△ABD;
(3)求CFDH的最大值.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)當x=4時,CFDH的最大值為
【解析】
(1)由AB是直徑知∠ACB=90°,依據(jù)三角函數(shù)求出BC=6,由勾股定理求出AC=8,由AB⊥DE知∠AFD=∠ACB=90°,結(jié)合∠A為公共角可證△ADF∽△ABC,得出對應(yīng)邊成比例,即可求出AD的長;
(2)由△ADF∽△ABC知,結(jié)合∠A為△ACF和△ABD的公共角可證△ACF∽△ABD;
(3)連接CH,先證△ACH∽△HCD得出比例式,即CFDH=CDAF,再設(shè)AD=x,則CD=8﹣x,AF=x,從而得出CFDH=﹣(x﹣4)2+,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.
(1)當DF經(jīng)過圓心O時,AF=OA=5,
∵AB為直徑,AB=10,
∴∠ACB=90°,
∴sinA=,
∴BC=6,
由勾股定理得:,
∵AB⊥DE,
∴∠AFD=∠ACB=90°,
∵∠A=∠A,
∴△ADF∽△ABC,
∴,
∴;
(2)證明:由(1)得:△ADF∽△ABC,
∴,即,
又∵∠A為△ACF和△ABD的公共角,
∴△ACF∽△ABD;
(3)連接CH,如圖所示:
由(2)知△ACF∽△ABD,
∴∠ABD=∠ACF,
∵∠ABD=∠ACH,
∴∠ACH=∠ACF,
又∵∠CAF=∠H,
∴△ACH∽△HCD,
∴,即CFDH=CDAF,
設(shè)AD=x,則CD=8﹣x,AF=x,
∴CF
∴當x=4時,CFDH的最大值為.
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【題目】如圖①,AB是⊙O的直徑,CD為弦,且AB⊥CD于E,點M為上一動點(不包括A,B兩點),射線AM與射線EC交于點F.
(1)如圖②,當F在EC的延長線上時,求證:∠AMD=∠FMC.
(2)已知,BE=2,CD=8.
①求⊙O的半徑;
②若△CMF為等腰三角形,求AM的長(結(jié)果保留根號).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=12,C是線段AB上一點,分別以AC、CB為邊在A的同側(cè)作等邊△ACP和等邊△CBQ,連接PQ,則PQ的最小值是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
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【題目】如圖1,在菱形ABCD中,∠A=120°,點E是BC邊的中點,點P是對角線BD上一動點,設(shè)PD的長度為x,PE與PC的長度和為y,圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象,其中H是圖象上的最低點,則a+b的值為( )
A.7B.C.D.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,點O在斜邊AB上,以O(shè)為圓心,OB為半徑作圓,分別與BC,AB相交于點D,E,連結(jié)AD.已知∠CAD=∠B,
(1)求證:AD是⊙O的切線.
(2)若BC=8,tanB=,求⊙O 的半徑.
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【題目】下表是2019年三月份某居民小區(qū)隨機抽取20戶居民的用水情況:
用水量/噸 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
戶數(shù) | 2 | 4 | m | 4 | 3 | 0 | 1 |
(1)求出m= ,補充畫出這20戶家庭三月份用電量的條形統(tǒng)計圖;
(2)據(jù)上表中有關(guān)信息,計算或找出下表中的統(tǒng)計量,并將結(jié)果填入表中:
(3)為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水,綠色環(huán)保”的意識,臺州市自來水公司實行“梯級用水、分類計費”,價格表如下:
如果該小區(qū)有500戶家庭,根據(jù)以上數(shù)據(jù),請估算該小區(qū)三月份有多少戶家庭在ⅠI級標準?并估算這些級用水戶的總水費是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)將△ABC向下平移5個單位后得到△A1B1C1,請畫出△A1B1C1;
(2)將△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C2,請畫出△A2B2C2;
(3)判斷以O,A1,B為頂點的三角形的形狀.(無須說明理由)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線上有兩點M(m+1,a)、N(m,b).
(1)當a=-1,m=1時,求拋物線的解析式;
(2)用含a、m的代數(shù)式表示b和c;
(3)當a<0時,拋物線滿足,,,
求a的取值范圍.
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